- ^2.104/_3.312 + ^2.090/_3.315 - ^2.109/_3.302 - ^2.116/_3.374 - ^2.123/_3.350 + ^2.140/_3.360 = ? Additionner des fractions, calculatrice en ligne. Opération d'addition expliquée étape par étape

• Pour simplifier une fraction à la forme équivalente la plus simple : divisez le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur, PGCD.
• * Pourquoi essaie-t-on de simplifier les fractions ?
• En réduisant les valeurs des numérateurs et des dénominateurs des fractions, les calculs sont plus faciles à effectuer.
• Une fraction simplifiée à la forme équivalente la plus simple est une fraction avec le plus petit numérateur et dénominateur possible, une fraction qui ne peut plus être simplifiée.

• La décomposition en facteurs premiers du numérateur et du dénominateur :
• 2.104 = 2³ × 263
• 3.312 = 2⁴ × 3² × 23
• Multipliez tous les facteurs premiers communs : s'il y a des facteurs premiers communs répétitifs, nous ne les prenons qu'une seule fois, et seulement ceux qui ont le plus petit exposant (les plus petites puissances).
• PGCD (2.104; 3.312) = 2³ = 8

• Une autre méthode pour simplifier la fraction :

• Sans calculer le PGCD, décomposer le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers et éliminer tous les facteurs communs.

• - ^2.104/_3.312 = - ^{(23 × 263)}/_{(2⁴ × 3² × 23)} = - ^{((23 × 263) : 23 )}/_{((2⁴ × 3² × 23) : 2³ )} = - ²⁶³/₄₁₄

• 2.090 = 2 × 5 × 11 × 19
• 3.315 = 3 × 5 × 13 × 17
• PGCD (2.090; 3.315) = 5

• Nous aurions pu simplifier la fraction sans calculer le PGCD. Il suffit de décomposer le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers et d'éliminer les facteurs communs.

• ^2.090/_3.315 = ^{(2 × 5 × 11 × 19)}/_{(3 × 5 × 13 × 17)} = ^{((2 × 5 × 11 × 19) : 5)}/_{((3 × 5 × 13 × 17) : 5)} = ⁴¹⁸/₆₆₃

• Le numérateur et le dénominateur n'ont pas de facteurs premiers communs.
• La décomposition en facteurs premiers des deux nombres :
2.109 = 3 × 19 × 37
• 3.302 = 2 × 13 × 127
• PGCD (3 × 19 × 37; 2 × 13 × 127) = 1

• 2.116 = 2² × 23²
• 3.374 = 2 × 7 × 241
• PGCD (2.116; 3.374) = 2

• Nous aurions pu simplifier la fraction sans calculer le PGCD. Il suffit de décomposer le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers et d'éliminer les facteurs communs.

• - ^2.116/_3.374 = - ^{(22 × 232)}/_{(2 × 7 × 241)} = - ^{((22 × 232) : 2)}/_{((2 × 7 × 241) : 2)} = - ^1.058/_1.687

• Le numérateur et le dénominateur n'ont pas de facteurs premiers communs.
• La décomposition en facteurs premiers des deux nombres :
2.123 = 11 × 193
• 3.350 = 2 × 5² × 67
• PGCD (11 × 193; 2 × 5² × 67) = 1

• 2.140 = 2² × 5 × 107
• 3.360 = 2⁵ × 3 × 5 × 7
• PGCD (2.140; 3.360) = 2² × 5 = 20

• Nous aurions pu simplifier la fraction sans calculer le PGCD. Il suffit de décomposer le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers et d'éliminer les facteurs communs.

• ^2.140/_3.360 = ^{(22 × 5 × 107)}/_{(2⁵ × 3 × 5 × 7)} = ^{((22 × 5 × 107) : (22 × 5))}/_{((2⁵ × 3 × 5 × 7) : (2² × 5))} = ¹⁰⁷/₁₆₈

• Pour calculer l'opération des fractions, nous devons :
• 1) trouver leur dénominateur commun (le même dénominateur)
• 2) puis calculer les nombres par lesquels chaque dénominateur est multiplié, afin d'avoir tous les dénominateurs des fractions égaux (au même dénominateur)
• 3) puis réduire les fractions au même dénominateur, en les transformant en formes équivalentes, qui ont toutes le même dénominateur

• * Le même dénominateur n'est rien d'autre que le plus petit commun multiple (PPCM) des dénominateurs des fractions.
• Le PPCM sera le même dénominateur des fractions avec lesquelles nous travaillons.

Multipliez tous les facteurs premiers uniques : s'il y a des facteurs premiers répétitifs, nous ne les prenons qu'une seule fois, et seulement ceux qui ont le plus grand exposant (les puissances les plus élevées).

• Remplacez chaque fraction par une fraction équivalente : multipliez son numérateur et son dénominateur par le nombre correspondant, calculé à l'étape 2 ci-dessus. De cette façon, toutes les fractions auront des dénominateurs égaux (le même dénominateur).
• Maintenez ensuite le dénominateur commun et faites les calculs uniquement avec les numérateurs des fractions.

• La décomposition en facteurs premiers des deux nombres :
• 166.466.333.780.701 = 149 × 569 × 1.963.486.321
• 131.336.736.640.200 = 2³ × 3² × 5² × 7 × 13 × 17 × 23 × 67 × 127 × 241
• PGCD (149 × 569 × 1.963.486.321; 2³ × 3² × 5² × 7 × 13 × 17 × 23 × 67 × 127 × 241) = 1

• Un nombre fractionnaire : un nombre entier et une fraction propre, tous deux de même signe.
• Une fraction propre : la valeur du numérateur est inférieure à la valeur du dénominateur.
• Divisez le numérateur par le dénominateur et notez le quotient et le reste de la division, comme indiqué ci-dessous :

Divisez simplement le numérateur par le dénominateur, sans reste, comme indiqué ci-dessous :

• Une valeur en pourcentage p% est égale à la fraction : ^p/₁₀₀, pour tout nombre décimal p. Donc, nous devons changer la forme du nombre obtenu ci-dessus, pour avoir un dénominateur de 100.
• Pour ce faire, multipliez le nombre par la fraction ¹⁰⁰/₁₀₀.
• La valeur de la fraction ¹⁰⁰/₁₀₀ = 1, donc en multipliant le nombre par cette fraction, le résultat ne change pas, seulement la forme.

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