Apprenez à réduire (simplifier) des fractions à sa forme équivalente la plus simple, irréductible, avec le plus petit numérateur et dénominateur possible. Facteurs premiers. Le plus grand commun diviseur, PGCD. Exemples
Simplifiez (réduisez) des fractions. Fractions équivalente
Apprenons par un exemple, simplifions la fraction : 12/16
Numérateur de la fraction. Le nombre qui est au-dessus de la barre de fraction, 12, est appelé le numérateur de la fraction;
Dénominateur de la fraction. Le nombre situé en dessous de la barre de fraction, 16, est appelé le dénominateur de la fraction;
La valeur de la fraction. La fraction 12/16 nous indique en combien de parties égales le nombre au-dessus de la barre de fraction, 12, est en cours de division : en 16 parties égales. Ainsi, la valeur de la fraction est calculée comme suit :
12 : 16 = 0,75
Nous remarquons que les deux nombres, le numérateur et le dénominateur, se divisent sans reste par 2, nous les divisons donc par le même nombre, 2 :
12/16 = (12 : 2)/(16 : 2) = 6/8
La valeur de la fraction 6/8 est calculé comme :
6 : 8 = 0,75
On remarque que la valeur de la fraction 6/8 est égale à celle de la fraction 12/16, à savoir 0,75
Fraction réduite (simplifiée), Fraction équivalente. La nouvelle fraction, 6/8, est équivalent à l'original, 12/16, c'est-à-dire, il représente la même valeur ou proportion du tout, et il a été calculé à partir de la fraction originale en le simplifiant : le numérateur et le dénominateur de la fraction ont été divisés par le nombre 2.
Facteur commun (diviseur commun). Le nombre 2 utilisé pour diviser les deux nombres composant la fraction est appelé facteur commun (ou diviseur commun) du numérateur et le dénominateur de la fraction.
La fraction simplifiée a maintenant un numérateur égal à 6 et un dénominateur égal à 8.
Nous remarquons également que les deux nouveaux nombres, le nouveau numérateur et le nouveau dénominateur, 6 et 8, se divisent également sans reste par 2 (2 est un facteur commun ou un diviseur commun de 6 et 8), nous les divisons donc à nouveau par 2 :
6/8 = (6 : 2)/(8 : 2) = 3/4
La valeur de la fraction 3/4 est calculé comme :
3 : 4 = 0,75
La nouvelle fraction, 3/4, est une fraction simplifiée et équivalente aux fractions 12/16 et 6/8
Fraction irréductible. La fraction 3/4 est également appelée fraction irréductible. En d'autres termes, elle ne pourrait plus être simplifiée, elle est dans sa forme la plus simple, les nombres 3 et 4, le numérateur et le dénominateur de la fraction, sont les nombres premiers entre eux (premiers entre eux), n'ayant pas de facteurs communs autres que 1.
Comment réduire (simplifier) la fraction 12/16 à la forme équivalente la plus simple? Fraction irréductible
Le plus grand commun diviseur, PGCD. Pour réduire une fraction au plus bas terme (ou, en d'autres termes, la simplifier à sa forme la plus simple, irréductible), il faut diviser le numérateur et le dénominateur de la fraction par leur plus grand commun diviseur, PGCD (12; 16).
Facteurs premiers. Une façon de calculer le plus grand commun diviseur, PGCD, consiste à décomposer chacun des deux nombres en facteurs premiers, puis à les écrire en tant que produits des puissances de ces nombres premiers. Après cela, multipliez tous les nombres premiers communs par leurs puissances inférieures, voir ci-dessous.
Le numérateur et le dénominateur sont décomposés en facteurs premiers :
Le plus grand commun diviseur, PGCD (12; 16), est calculé en multipliant tous les facteurs premiers communs du numérateur et du dénominateur, par leurs puissances inférieures :
Pour simplifier la fraction à sa forme équivalente la plus simple, divisez le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur, PGCD :
12/16 = (12 : 4) / (16 : 4) = 3/4
Fraction irréductible. La fraction finale 3/4 s'appelle une fraction simplifiée. Étant donné que le numérateur et le dénominateur sont des nombres premiers entre eux (leur nombre est primordial), leur plus grand commun diviseur est 1, de sorte que cette fraction est dans sa forme la plus simple (elle ne peut plus être réduite). Cette fraction s'appelle une fraction irréductible.
La fraction 3/4 est également un équivalent de la fraction d'origine 12/16, représentant la même valeur ou proportion de l'ensemble. Comme nous l'avons vu ci-dessus :
3/4 = 6/8 = 12/18 - toutes ces fractions sont équivalentes, calculées en simplifiant celle d'origine.
Les fractions équivalentes peuvent être calculées non seulement en simplifiant, mais aussi en amplifiant une fraction, c'est-à-dire en multipliant le numérateur et le dénominateur par le même nombre autre que zéro, c'est-à-dire l'inverse du processus de simplification, mais ceci est une autre discussion.
Pourquoi simplifier les fractions?
Pour faire des calculs avec des fractions, nous devons aussi parfois les réduire au même dénominateur ou au même numérateur. Parfois, les numérateurs et les dénominateurs sont grands. Faire des calculs avec un si grand nombre pourrait prendre beaucoup de temps et de ressources.
En simplifiant, le numérateur et le dénominateur de la fraction sont réduits à des valeurs plus petites avec lesquelles il est plus facile de travailler.