Les fractions (ordinaires) : que sont-elles?
Si nous devons diviser 6 pommes en 3 parts égales, nous effectuons l'opération suivante :
- 6 : 3 = 2
- nous savons donc que chaque enfant aura 2 pommes.
Si nous devons diviser 2 pommes en 3 parts égales, nous effectuons l'opération suivante :
- 2 : 3 = ?
- cette opération n'a pas de solution dans l'ensemble des nombres naturels;
- cependant, nous pourrons diviser les pommes à l'aide d'un couteau : la quantité de pomme pour chaque enfant sera définie à l'aide de la fraction 2/3
- tous les cas similaires conduisent à des fractions.
Les fractions sont formées en divisant des nombres :
- chaque fraction a la forme a/b
- "a" est le numérateur, écrit au-dessus de la barre de fraction;
- "b" est le dénominateur, écrit sous la barre de fraction; "b" ne peut pas être zéro;
- "b" nous montre en combien de parts égales "a" a été divisé;
- la valeur de la fraction est calculée en divisant le numérateur, "a", par le dénominateur, "b" :
- "a" : "b"
- ces fractions, dans lesquelles le numérateur et le dénominateur sont des entiers, sont parfois appelées fractions ordinaires.
La règle du signe quand on se multiplie ou se divise :
- (+)(+) = (+)
- (+)(-) = (-); (-)(+) = (-)
- (-)(-) = (+)
Les signes des numérateurs et des dénominateurs :
- Les numérateurs et les dénominateurs d'une fraction peuvent être des entiers positifs ou négatifs.
- Exemple de fractions avec numérateurs et dénominateurs positifs : 7/6, 3/4, 13/20
- Exemple de fractions avec numérateurs et dénominateurs négatifs : -7/-6, -3/-4, -13/-20
- Exemple de fractions avec numérateurs et dénominateurs positifs et / ou négatifs : -7/6, 3/-4, -13/-20
Le signe d'une fraction :
- Les signes du numérateur et du dénominateur sont combinés en un seul signe, conformément à la règle du signe, décrite ci-dessus, et placés devant la fraction, de sorte que les fractions ci-dessus deviennent :
- -7/-6 = (-)(-)7/6 = (+)7/6 = 7/6
- -3/-4 = (-)(-)3/4 = (+)3/4 = 3/4
- -13/-20 = (-)(-)13/20 = (+)13/20 = 13/20
- -7/6 = (-)(+)7/6 = (-)7/6 = - 7/6
- 3/-4 = (+)(-)3/4 = (-)3/4 = - 3/4
- -13/-20 = (-)(-)13/20 = (+)13/20 = 13/20
Types de fractions :
- Valeur absolue d'un nombre = la valeur numérique d'un nombre sans tenir compte de son signe. Par exemple, la valeur absolue de -7 (écrite comme |-7│) est 7. Plus d'exemples : |-17| = 17; |10| = 10; |-123| = 123;
- Des fractions propres: 2/3, 1/7, 5/9, - 11/13, 10/11, -15/-16 - la valeur absolue du numérateur est inférieure à la valeur absolue du dénominateur, de sorte que la valeur absolue de la fraction est inférieure à 1.
- Des fractions impropres: 4/3, 16/3, 9/8, 123/-13 - la valeur absolue du numérateur est supérieure ou égale à la valeur absolue du dénominateur, la valeur absolue de la fraction est donc supérieure ou égale à 1;
- Les fractions impropres peuvent être écrites comme nombres fractionnaires:
- 4/3 = 3/3 + 1/3 = 1 + 1/3, qui s'écrit comme : 1 1/3
- 16/3 = 15/3 + 1/3 = 5 + 1/3, qui s'écrit comme : 5 1/3
- 9/8 = 8/8 + 1/8 = 1 + 1/8, qui s'écrit comme : 1 1/8
- 123/-13 = - 123/13 = - (117 + 6)/13 = - 117/13 - 6/13 = - 9 - 6/13, qui s'écrit comme : - 9 6/13
- Notez qu'un nombre fractionnaire est constituée d'un nombre entier et d'une fraction propre, les deux ayant le même signe.
Comment se comparent les fractions positives?
- Si les deux fractions ont le même dénominateur alors plus le numérateur de la fraction est grand, plus la fraction est grande : 2/7 < 6/7. Pourquoi? 7 parties d'un nombre plus grand (6) sont toujours supérieures à 7 parties d'un nombre plus petit (2);
- Si les deux fractions ont le même numérateur alors plus le dénominateur de la fraction est grand, plus la fraction est petite : 5/9 < 5/7. Pourquoi? Lorsque nous divisons la même quantité (5) en moins de parties (7), le résultat est plus grand que lorsque nous la divisons en plusieurs parties supplémentaires (9);
- Si les deux fractions ont des numérateurs et des dénominateurs différents :
- toute fraction propre positive (inférieure à 1) est inférieure à toute fraction impropre positive (supérieure ou égale à 1) :
- 3/7 < 1 < 5/2
- si les fractions sont à la fois propres ou impropres, on peut toujours réduire les fractions au même dénominateur et comparer alors les numérateurs : plus le nouveau numérateur est grand, plus la fraction est grande :
- 8/9 ? 5/7
- (8 × 7) / (9 × 7) ? (5 × 9) / (7 × 9)
- 56/63 > 45/63
- 8/9 > 5/7
Comment se comparent les fractions négatives?
- Si les deux fractions ont le même dénominateur alors plus le numérateur de la fraction est grand, plus la fraction est petite : - 2/7 > - 6/7
- Si les deux fractions ont le même numérateur alors plus le dénominateur de la fraction est grand, plus la fraction est grande : - 5/9 > - 5/7
- Si les deux fractions ont des numérateurs et des dénominateurs différents :
- toute fraction propre négative (plus grand que -1) est supérieure à toute fraction négative impropre (inférieur ou égal à -1) :
- - 3/7 > -1 > - 5/2
- si les fractions sont à la fois propres ou impropres, on peut toujours réduire les fractions au même dénominateur et comparer alors les numérateurs : la fraction avec le plus grand numérateur est la plus petite :
- - 8/9 vs. - 5/7
- - (8 × 7) / (9 × 7) vs. - (5 × 9) / (7 × 9)
- - 56/63 < - 45/63
- - 8/9 < - 5/7