Apprenez à comparer des fractions

Apprenez à comparer des fractions. Étapes à suivre. Exemples.

Comment comparer deux fractions?

1. Les fractions qui ont des signes différents:

  • Toute fraction positive est supérieure à toute fraction négative, par exemple:
  • 4/25 > - 19/2

2. Une fraction propre et une fraction impropre:

  • Toute fraction impropre positive est plus grande que toute fraction propre positive, par exemple:
  • 44/25 > 1 > 19/200
  • Toute fraction impropre négative est inférieure à toute fraction propre négative, par exemple:
  • - 44/25 < -1 < - 19/200

3. Les fractions qui ont le même numérateur et le même dénominateur:

  • Les fractions sont égales, par exemple:
  • ie: 89/50 = 89/50

4. Les fractions qui ont des numérateurs différents mais le même dénominateur.

  • Fractions positives: comparer les numérateurs, la fraction la plus grande est celle avec le plus grand numérateur, par exemple:
  • ie: 24/25 > 19/25
  • Fractions négatives: comparer les numérateurs, la fraction la plus grande est celle avec le plus petit numérateur, par exemple:
  • - 19/25 < - 17/25

5. Les fractions qui ont des dénominateurs différents mais le même numérateur.

  • Fractions positives: comparer les dénominateurs, la plus grande fraction est celle avec le plus petit dénominateur, par exemple:
  • 24/25 > 24/26
  • Fractions négatives: comparer les dénominateurs, la plus grande fraction est celle avec le plus grand dénominateur, par exemple:
  • - 17/25 < - 17/29

6. Les fractions qui ont différents numérateurs et dénominateurs.

  • Pour les comparer, les fractions doivent être réduites au même dénominateur (ou, si c'est plus facile, au même numérateur).
  • 1) Si nécessaire, commencez par simplifier les fractions dans leur forme la plus simple.

  • 2) Calculer le plus petit commun multiple, PPCM, de tous les dénominateurs des fractions (le plus petit dénominateur commun):

    • PPCM sera le nouveau dénominateur des fractions équivalentes à comparer.
    • Dans ce cas particulier, PPCM est également appelé le plus petit dénominateur commun.
    • Décomposer tous les dénominateurs des fractions en produits de puissances de facteurs premiers.
    • Pour calculer le PPCM, multipliez tous les facteurs premiers uniques des dénominateurs, par les plus grandes puissances.
    • Calculer le plus petit commun multiple, PPCM, de deux nombres, en ligne.
  • 3) Réduire les fractions au même dénominateur (les amplifier).

    • Amplifier une fraction = multipliez le numérateur et le dénominateur d'une fraction par le même nombre naturel, non nul, appelé nombre d'amplification, afin d'obtenir une fraction équivalente.
    • Calculez le nombre d'amplification de chaque fraction: il s'agit d'un nombre non nul obtenu en divisant le plus petit commun multiple, PPCM, par le dénominateur de chaque fraction.
    • Amplifiez chaque fraction: multipliez le numérateur et le dénominateur de chaque fraction par le nombre d'amplification correspondant.
    • La valeur d'une fraction ne change pas par amplification, seule une fraction équivalente avec laquelle il est plus facile de travailler est obtenue.
  • 4) Comparez les numérateurs des nouvelles fractions équivalentes.

    • À ce stade, les fractions sont réduites au même dénominateur. Il suffit donc de comparer les numérateurs des fractions..
    • La plus grande fraction sera celle avec le plus grand numérateur si les fractions sont positives.
    • S'ils sont négatifs, la fraction la plus grande sera celle avec le plus petit numérateur.

Un exemple: comparez deux fractions propres positives qui ont des dénominateurs et des numérateurs différents: 16/24 vs. 45/75

  • 1) Commencez par simplifier les fractions dans leur forme la plus simple.

    • Fraction 16/24:
      • Décomposer le numérateur et le dénominateur en produits de puissances de facteurs premiers:
      • 16 = 24;
      • 24 = 23 × 3;
      • Calculez le plus grand commun diviseur, le PGCD, du numérateur et du dénominateur, multipliez tous leurs facteurs premiers communs uniques, par leurs puissances inférieures, s'il y a:
      • PPGD (16; 24) = PPGD (24; 23 × 3) = 23;
      • Divisez le numérateur et le dénominateur par PGCD:
      • 16/24 = 24 / (23 × 3) = (24 ÷ 23) / ((23 × 3) ÷ 23) = 2/3.
    • Fraction 45/75:
      • Décomposer le numérateur et le dénominateur en produits de puissances de facteurs premiers:
      • 45 = 32 × 5;
      • 75 = 3 × 52;
      • Calculez le plus grand commun diviseur, le PGCD, du numérateur et du dénominateur, multipliez tous leurs facteurs premiers communs uniques, par leurs puissances inférieures, s'il y a:
      • PGCD (45; 75) = PGCD (32 × 5; 3 × 52) = 3 × 5;
      • Divisez le numérateur et le dénominateur par PGCD:
      • 45/75 = (32 × 5) / (3 × 52) = ((32 × 5) ÷ (3 × 5)) / ((3 × 52) ÷ (3 × 5)) = 3/5.
    • Les fractions simplifiées sont:
      • 16/24 = 2/3;
      • 45/75 = 3/5.
    • Les fractions simplifiées sont équivalentes à celles d'origine, ayant les mêmes valeurs que celles d'origine:
      • 16/24 ≈ 0,67; 2/3 ≈ 0,67;
      • 45/75 = 0,6; 3/5 = 0,6;
  • 2) Calculer le plus petit commun multiple, PPCM, de tous les dénominateurs des fractions (le plus petit dénominateur commun):

    • PPCM sera le nouveau dénominateur des fractions équivalentes à comparer.
    • Dans ce cas particulier, PPCM est également appelé le plus petit dénominateur commun.
    • Pour calculer la PPCM, décomposez tous les dénominateurs en produits de puissances de facteurs premiers, puis multipliez tous leurs facteurs premiers uniques par les plus grandes puissances.
      • Le dénominateur de la fraction 2/3 est 3, c'est déjà un nombre premier, il ne peut être décomposé en aucun autre nombre premier;
      • Le dénominateur de la fraction 3/5 est 5, c'est déjà un nombre premier, il ne peut être décomposé en aucun autre nombre premier.
    • PPCM (3, 5) = 3 × 5 = 15.
  • Réduire les fractions au même dénominateur (les amplifier).

    • Amplifier une fraction = multipliez le numérateur et le dénominateur d'une fraction par le même nombre naturel, non nul, appelé nombre d'amplification, afin d'obtenir une fraction équivalente.
    • Le nombre d'amplifications de chaque fraction est calculé en divisant le plus petit commun multiple PPCM par le dénominateur de chaque fraction:
      • La première fraction: 15 ÷ 3 = 5;
      • La deuxième fraction: 15 ÷ 5 = 3.
    • Amplifiez chaque fraction par son nombre d'amplification:
      • La première fraction: 2/3 = (5 × 2) / (5 × 3) = 10/15;
      • La deuxième fraction: 3/5 = (3 × 3) / (3 × 5) = 9/15.
    • Comme dans le cas de la simplification, l'amplification ne modifie pas les valeurs des fractions, elle ne produit que des fractions équivalentes plus faciles à manipuler:
      • 2/3 ≈ 0,67; 10/15 ≈ 0,67;
      • 3/5 = 0.6; 9/15 = 0.6.
  • 4) Comparez les numérateurs des nouvelles fractions équivalentes.

    • Nos fractions ont maintenant le même dénominateur, tout ce que nous avons à faire est de comparer les numérateurs:
    • 10 > 9 =>
    • 10/15 > 9/15 =>
    • 16/24 > 45/75.

Plus sur la théorie des fractions mathématiques simples:

(1) Qu'est-ce qu'une fraction? Types de fractions. Comment comparer des fractions?


(2) Changements de forme, amplification et simplification de fractions


(3) Réduire (simplifier) des fractions. Le plus grand commun diviseur, PGCD


(4) Comment comparer deux fractions avec différents numérateurs et dénominateurs


(5) Tri des fractions par ordre croissant


(6) Additionner des fractions simples


(7) Soustraction des fractions simples


(8) Multiplier des fractions simples


(9) Fractions, théorie: nombres rationnels