Calculez le plus grand commun diviseur, le PGCD, du numérateur et le dénominateur de chaque fraction : multipliez tous leurs facteurs premiers communs uniques par les puissances inférieures.
Nous allons calculer un PGCD pour chaque fraction.
Chaque PGCD sera utilisé pour diviser le numérateur et le dénominateur de chaque fraction, afin de simplifier cette fraction.
3) Réduire les fractions au même dénominateur (les amplifier).
Amplifier une fraction = multipliez le numérateur et le dénominateur d'une fraction par le même nombre naturel, non nul, appelé nombre d'amplification, afin d'obtenir une fraction équivalente.
Calculez le nombre d'amplification de chaque fraction : il s'agit d'un nombre non nul obtenu en divisant le plus petit commun multiple, PPCM, par le dénominateur de chaque fraction.
Amplifiez chaque fraction : multipliez le numérateur et le dénominateur de chaque fraction par le nombre d'amplification correspondant.
La valeur d'une fraction ne change pas par amplification, seule une fraction équivalente avec laquelle il est plus facile de travailler est obtenue.
4) Comparez les numérateurs des nouvelles fractions équivalentes.
À ce stade, les fractions sont réduites au même dénominateur. Il suffit donc de comparer les numérateurs des fractions..
La plus grande fraction sera celle avec le plus grand numérateur si les fractions sont positives.
S'ils sont négatifs, la fraction la plus grande sera celle avec le plus petit numérateur.
Un exemple : comparez deux fractions propres positives qui ont des dénominateurs et des numérateurs différents : 16/24 vs. 45/75
1) Commencez par simplifier les fractions dans leur forme la plus simple.
Fraction 16/24 :
Décomposer le numérateur et le dénominateur en produits de puissances de facteurs premiers :
16 = 24;
24 = 23 × 3;
Calculez le plus grand commun diviseur, le PGCD, du numérateur et du dénominateur, multipliez tous leurs facteurs premiers communs uniques, par leurs puissances inférieures, s'il y a :
PPGD (16; 24) = PPGD (24; 23 × 3) = 23;
Divisez le numérateur et le dénominateur par PGCD :
Décomposer le numérateur et le dénominateur en produits de puissances de facteurs premiers :
45 = 32 × 5;
75 = 3 × 52;
Calculez le plus grand commun diviseur, le PGCD, du numérateur et du dénominateur, multipliez tous leurs facteurs premiers communs uniques, par leurs puissances inférieures, s'il y a :
PGCD (45; 75) = PGCD (32 × 5; 3 × 52) = 3 × 5;
Divisez le numérateur et le dénominateur par PGCD :
Les fractions simplifiées sont équivalentes à celles d'origine, ayant les mêmes valeurs que celles d'origine :
16/24 ≈ 0,67; 2/3 ≈ 0,67;
45/75 = 0,6; 3/5 = 0,6;
2) Calculer le plus petit commun multiple, PPCM, de tous les dénominateurs des fractions (le plus petit dénominateur commun) :
PPCM sera le nouveau dénominateur des fractions équivalentes à comparer.
Dans ce cas particulier, PPCM est également appelé le plus petit dénominateur commun.
Pour calculer la PPCM, décomposez tous les dénominateurs en produits de puissances de facteurs premiers, puis multipliez tous leurs facteurs premiers uniques par les plus grandes puissances.
Le dénominateur de la fraction 2/3 est 3, c'est déjà un nombre premier, il ne peut être décomposé en aucun autre nombre premier;
Le dénominateur de la fraction 3/5 est 5, c'est déjà un nombre premier, il ne peut être décomposé en aucun autre nombre premier.
PPCM (3, 5) = 3 × 5 = 15.
Réduire les fractions au même dénominateur (les amplifier).
Amplifier une fraction = multipliez le numérateur et le dénominateur d'une fraction par le même nombre naturel, non nul, appelé nombre d'amplification, afin d'obtenir une fraction équivalente.
Le nombre d'amplifications de chaque fraction est calculé en divisant le plus petit commun multiple PPCM par le dénominateur de chaque fraction :
La première fraction : 15 : 3 = 5;
La deuxième fraction : 15 : 5 = 3.
Amplifiez chaque fraction par son nombre d'amplification :
La première fraction : 2/3 = (5 × 2) / (5 × 3) = 10/15;
La deuxième fraction : 3/5 = (3 × 3) / (3 × 5) = 9/15.
Comme dans le cas de la simplification, l'amplification ne modifie pas les valeurs des fractions, elle ne produit que des fractions équivalentes plus faciles à manipuler :
2/3 ≈ 0,67; 10/15 ≈ 0,67;
3/5 = 0.6; 9/15 = 0.6.
4) Comparez les numérateurs des nouvelles fractions équivalentes.
Nos fractions ont maintenant le même dénominateur, tout ce que nous avons à faire est de comparer les numérateurs :
10 > 9 =>
10/15 > 9/15 =>
16/24 > 45/75.
En savoir plus sur les fractions (communes, ordinaires) / la théorie :