Apprenez à comparer des fractions

Apprenez à comparer des fractions. Étapes à suivre. Exemples.

Comment comparer deux fractions?

1. Les fractions qui ont des signes différents:

  • Toute fraction positive est supérieure à toute fraction négative, par exemple:
  • 4/25 > - 19/2

2. Une fraction propre et une fraction impropre:

  • Toute fraction impropre positive est plus grande que toute fraction propre positive, par exemple:
  • 44/25 > 1 > 19/200
  • Toute fraction impropre négative est inférieure à toute fraction propre négative, par exemple:
  • - 44/25 < -1 < - 19/200

3. Les fractions qui ont le même numérateur et le même dénominateur:

  • Les fractions sont égales, par exemple:
  • ie: 89/50 = 89/50

4. Les fractions qui ont des numérateurs différents mais le même dénominateur.

  • Fractions positives: comparer les numérateurs, la fraction la plus grande est celle avec le plus grand numérateur, par exemple:
  • ie: 24/25 > 19/25
  • Fractions négatives: comparer les numérateurs, la fraction la plus grande est celle avec le plus petit numérateur, par exemple:
  • - 19/25 < - 17/25

5. Les fractions qui ont des dénominateurs différents mais le même numérateur.

  • Fractions positives: comparer les dénominateurs, la plus grande fraction est celle avec le plus petit dénominateur, par exemple:
  • 24/25 > 24/26
  • Fractions négatives: comparer les dénominateurs, la plus grande fraction est celle avec le plus grand dénominateur, par exemple:
  • - 17/25 < - 17/29

6. Les fractions qui ont différents numérateurs et dénominateurs.

  • Pour les comparer, les fractions doivent être réduites au même dénominateur (ou, si c'est plus facile, au même numérateur).
  • 1) Si nécessaire, commencez par simplifier les fractions dans leur forme la plus simple.

  • 2) Calculer le plus petit commun multiple, PPCM, de tous les dénominateurs des fractions (le plus petit dénominateur commun):

    • PPCM sera le nouveau dénominateur des fractions équivalentes à comparer.
    • Dans ce cas particulier, PPCM est également appelé le plus petit dénominateur commun.
    • Décomposer tous les dénominateurs des fractions en produits de puissances de facteurs premiers.
    • Pour calculer le PPCM, multipliez tous les facteurs premiers uniques des dénominateurs, par les plus grandes puissances.
    • Calculer le plus petit commun multiple, PPCM, de deux nombres, en ligne.
  • 3) Réduire les fractions au même dénominateur (les amplifier).

    • Amplifier une fraction = multipliez le numérateur et le dénominateur d'une fraction par le même nombre naturel, non nul, appelé nombre d'amplification, afin d'obtenir une fraction équivalente.
    • Calculez le nombre d'amplification de chaque fraction: il s'agit d'un nombre non nul obtenu en divisant le plus petit commun multiple, PPCM, par le dénominateur de chaque fraction.
    • Amplifiez chaque fraction: multipliez le numérateur et le dénominateur de chaque fraction par le nombre d'amplification correspondant.
    • La valeur d'une fraction ne change pas par amplification, seule une fraction équivalente avec laquelle il est plus facile de travailler est obtenue.
  • 4) Comparez les numérateurs des nouvelles fractions équivalentes.

    • À ce stade, les fractions sont réduites au même dénominateur. Il suffit donc de comparer les numérateurs des fractions..
    • La plus grande fraction sera celle avec le plus grand numérateur si les fractions sont positives.
    • S'ils sont négatifs, la fraction la plus grande sera celle avec le plus petit numérateur.

Un exemple: comparez deux fractions propres positives qui ont des dénominateurs et des numérateurs différents: 16/24 vs. 45/75

  • 1) Commencez par simplifier les fractions dans leur forme la plus simple.

    • Fraction 16/24:
      • Décomposer le numérateur et le dénominateur en produits de puissances de facteurs premiers:
      • 16 = 24;
      • 24 = 23 × 3;
      • Calculez le plus grand commun diviseur, le PGCD, du numérateur et du dénominateur, multipliez tous leurs facteurs premiers communs uniques, par leurs puissances inférieures, s'il y a:
      • PPGD (16; 24) = PPGD (24; 23 × 3) = 23;
      • Divisez le numérateur et le dénominateur par PGCD:
      • 16/24 = 24 / (23 × 3) = (24 ÷ 23) / ((23 × 3) ÷ 23) = 2/3.
    • Fraction 45/75:
      • Décomposer le numérateur et le dénominateur en produits de puissances de facteurs premiers:
      • 45 = 32 × 5;
      • 75 = 3 × 52;
      • Calculez le plus grand commun diviseur, le PGCD, du numérateur et du dénominateur, multipliez tous leurs facteurs premiers communs uniques, par leurs puissances inférieures, s'il y a:
      • PGCD (45; 75) = PGCD (32 × 5; 3 × 52) = 3 × 5;
      • Divisez le numérateur et le dénominateur par PGCD:
      • 45/75 = (32 × 5) / (3 × 52) = ((32 × 5) ÷ (3 × 5)) / ((3 × 52) ÷ (3 × 5)) = 3/5.
    • Les fractions simplifiées sont:
      • 16/24 = 2/3;
      • 45/75 = 3/5.
    • Les fractions simplifiées sont équivalentes à celles d'origine, ayant les mêmes valeurs que celles d'origine:
      • 16/24 ≈ 0,67; 2/3 ≈ 0,67;
      • 45/75 = 0,6; 3/5 = 0,6;
  • 2) Calculer le plus petit commun multiple, PPCM, de tous les dénominateurs des fractions (le plus petit dénominateur commun):

    • PPCM sera le nouveau dénominateur des fractions équivalentes à comparer.
    • Dans ce cas particulier, PPCM est également appelé le plus petit dénominateur commun.
    • Pour calculer la PPCM, décomposez tous les dénominateurs en produits de puissances de facteurs premiers, puis multipliez tous leurs facteurs premiers uniques par les plus grandes puissances.
      • Le dénominateur de la fraction 2/3 est 3, c'est déjà un nombre premier, il ne peut être décomposé en aucun autre nombre premier;
      • Le dénominateur de la fraction 3/5 est 5, c'est déjà un nombre premier, il ne peut être décomposé en aucun autre nombre premier.
    • PPCM (3, 5) = 3 × 5 = 15.
  • Réduire les fractions au même dénominateur (les amplifier).

    • Amplifier une fraction = multipliez le numérateur et le dénominateur d'une fraction par le même nombre naturel, non nul, appelé nombre d'amplification, afin d'obtenir une fraction équivalente.
    • Le nombre d'amplifications de chaque fraction est calculé en divisant le plus petit commun multiple PPCM par le dénominateur de chaque fraction:
      • La première fraction: 15 ÷ 3 = 5;
      • La deuxième fraction: 15 ÷ 5 = 3.
    • Amplifiez chaque fraction par son nombre d'amplification:
      • La première fraction: 2/3 = (5 × 2) / (5 × 3) = 10/15;
      • La deuxième fraction: 3/5 = (3 × 3) / (3 × 5) = 9/15.
    • Comme dans le cas de la simplification, l'amplification ne modifie pas les valeurs des fractions, elle ne produit que des fractions équivalentes plus faciles à manipuler:
      • 2/3 ≈ 0,67; 10/15 ≈ 0,67;
      • 3/5 = 0.6; 9/15 = 0.6.
  • 4) Comparez les numérateurs des nouvelles fractions équivalentes.

    • Nos fractions ont maintenant le même dénominateur, tout ce que nous avons à faire est de comparer les numérateurs:
    • 10 > 9 =>
    • 10/15 > 9/15 =>
    • 16/24 > 45/75.

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