170/303 + 167/323 + 187/335 - 190/336 = ? Soustraire des fractions, calculatrice en ligne. Opération de soustraction expliquée étape par étape
Soustraction de fractions : 170/303 + 167/323 + 187/335 - 190/336 = ?
Simplifier l'opération
Simplifiez les fractions le plus possible, à la forme équivalente la plus simple, irréductible :
- Pour simplifier une fraction à la forme équivalente la plus simple : divisez le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur, PGCD.
- * Pourquoi essaie-t-on de simplifier les fractions ?
- En réduisant les valeurs des numérateurs et des dénominateurs des fractions, les calculs sont plus faciles à effectuer.
- Une fraction simplifiée à la forme équivalente la plus simple est une fraction avec le plus petit numérateur et dénominateur possible, une fraction qui ne peut plus être simplifiée.
* * *
La fraction : 170/303
170/303 est déjà simplifiée à la forme équivalente la plus simple.
- Le numérateur et le dénominateur n'ont pas de facteurs premiers communs.
- La décomposition en facteurs premiers des deux nombres : 170 = 2 × 5 × 17
- 303 = 3 × 101
- PGCD (2 × 5 × 17; 3 × 101) = 1
La fraction : 167/323
167/323 est déjà simplifiée à la forme équivalente la plus simple.
- Le numérateur et le dénominateur n'ont pas de facteurs premiers communs.
- La décomposition en facteurs premiers des deux nombres : 167 est un nombre premier
- 323 = 17 × 19
- PGCD (167; 17 × 19) = 1
La fraction : 187/335
187/335 est déjà simplifiée à la forme équivalente la plus simple.
- Le numérateur et le dénominateur n'ont pas de facteurs premiers communs.
- La décomposition en facteurs premiers des deux nombres : 187 = 11 × 17
- 335 = 5 × 67
- PGCD (11 × 17; 5 × 67) = 1
La fraction : - 190/336
- La décomposition en facteurs premiers du numérateur et du dénominateur :
- 190 = 2 × 5 × 19
- 336 = 24 × 3 × 7
- Multipliez tous les facteurs premiers communs : s'il y a des facteurs premiers communs répétitifs, nous ne les prenons qu'une seule fois, et seulement ceux qui ont le plus petit exposant (les plus petites puissances).
- PGCD (190; 336) = 2
- 190/336 = - (190 : 2)/(336 : 2) = - 95/168
Une autre méthode pour simplifier la fraction :
- Sans calculer le PGCD, décomposer le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers et éliminer tous les facteurs communs.
- 190/336 = - (2 × 5 × 19)/(24 × 3 × 7) = - ((2 × 5 × 19) : 2)/((24 × 3 × 7) : 2) = - 95/168
Réécrivez l'opération simplifiée équivalente :
170/303 + 167/323 + 187/335 - 190/336 =
170/303 + 167/323 + 187/335 - 95/168
Effectuez l'opération de calcul avec les fractions.
Pour additionner ou soustraire des fractions, nous avons besoin qu'elles aient des dénominateurs égaux (le même dénominateur).
- Pour calculer l'opération des fractions, nous devons :
- 1) trouver leur dénominateur commun (le même dénominateur)
- 2) puis calculer les nombres par lesquels chaque dénominateur est multiplié, afin d'avoir tous les dénominateurs des fractions égaux (au même dénominateur)
- 3) puis réduire les fractions au même dénominateur, en les transformant en formes équivalentes, qui ont toutes le même dénominateur
- * Le même dénominateur n'est rien d'autre que le plus petit commun multiple (PPCM) des dénominateurs des fractions.
- Le PPCM sera le même dénominateur des fractions avec lesquelles nous travaillons.
1) Trouver le dénominateur commun
Calculez le PPCM des dénominateurs :
La décomposition des dénominateurs en facteurs premiers :
303 = 3 × 101
323 = 17 × 19
335 = 5 × 67
168 = 23 × 3 × 7
Multipliez tous les facteurs premiers uniques : s'il y a des facteurs premiers répétitifs, nous ne les prenons qu'une seule fois, et seulement ceux qui ont le plus grand exposant (les puissances les plus élevées).
PPCM (303; 323; 335; 168) = 23 × 3 × 5 × 7 × 17 × 19 × 67 × 101 = 1.836.022.440
2) Calculez les nombres par lesquels chaque dénominateur est multiplié, afin que tous les dénominateurs des fractions soient égaux :
Divisez le PPCM par le dénominateur de chaque fraction.
170/303 ⟶ 1.836.022.440 : 303 = (23 × 3 × 5 × 7 × 17 × 19 × 67 × 101) : (3 × 101) = 6.059.480
167/323 ⟶ 1.836.022.440 : 323 = (23 × 3 × 5 × 7 × 17 × 19 × 67 × 101) : (17 × 19) = 5.684.280
187/335 ⟶ 1.836.022.440 : 335 = (23 × 3 × 5 × 7 × 17 × 19 × 67 × 101) : (5 × 67) = 5.480.664
- 95/168 ⟶ 1.836.022.440 : 168 = (23 × 3 × 5 × 7 × 17 × 19 × 67 × 101) : (23 × 3 × 7) = 10.928.705
3) Réduire les fractions au même dénominateur :
- Remplacez chaque fraction par une fraction équivalente : multipliez son numérateur et son dénominateur par le nombre correspondant, calculé à l'étape 2 ci-dessus. De cette façon, toutes les fractions auront des dénominateurs égaux (le même dénominateur).
- Maintenez ensuite le dénominateur commun et faites les calculs uniquement avec les numérateurs des fractions.
170/303 + 167/323 + 187/335 - 95/168 =
(6.059.480 × 170)/(6.059.480 × 303) + (5.684.280 × 167)/(5.684.280 × 323) + (5.480.664 × 187)/(5.480.664 × 335) - (10.928.705 × 95)/(10.928.705 × 168) =
1.030.111.600/1.836.022.440 + 949.274.760/1.836.022.440 + 1.024.884.168/1.836.022.440 - 1.038.226.975/1.836.022.440 =
(1.030.111.600 + 949.274.760 + 1.024.884.168 - 1.038.226.975)/1.836.022.440 =
1.966.043.553/1.836.022.440
Réduisez (simplifiez) la fraction le plus possible, à la forme équivalente la plus simple, irréductible :
Calculer le plus grand commun diviseur, PGCD,
du numérateur et du dénominateur de la fraction :
- La décomposition en facteurs premiers du numérateur et du dénominateur :
- 1.966.043.553 = 3 × 89 × 7.363.459
- 1.836.022.440 = 23 × 3 × 5 × 7 × 17 × 19 × 67 × 101
Multipliez tous les facteurs premiers communs : s'il y a des facteurs premiers communs répétitifs, nous ne les prenons qu'une seule fois, et seulement ceux qui ont le plus petit exposant (les plus petites puissances).
PGCD (1.966.043.553; 1.836.022.440) = PGCD (3 × 89 × 7.363.459; 23 × 3 × 5 × 7 × 17 × 19 × 67 × 101) = 3
La fraction peut être réduite (simplifiée) :
Divisez le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur, PGCD.
1.966.043.553/1.836.022.440 =
(1.966.043.553 : 3)/(1.836.022.440 : 1.836.022.440) =
655.347.851/612.007.480
Nous aurions pu simplifier la fraction sans calculer le PGCD. Il suffit de décomposer le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers et d'éliminer les facteurs communs.
1.966.043.553/1.836.022.440 =
(3 × 89 × 7.363.459)/(23 × 3 × 5 × 7 × 17 × 19 × 67 × 101) =
((3 × 89 × 7.363.459) : 3)/((23 × 3 × 5 × 7 × 17 × 19 × 67 × 101) : 3) =
(89 × 7.363.459)/(23 × 5 × 7 × 17 × 19 × 67 × 101) =
655.347.851/612.007.480
Réécrivez l'opération simplifiée équivalente :
1.966.043.553/1.836.022.440 =
655.347.851/612.007.480
Réécrire la fraction
Sous forme de nombre fractionnaire (également appelé fraction mixte, ou nombre mixte) :
- Un nombre fractionnaire : un nombre entier et une fraction propre, tous deux de même signe.
- Une fraction propre : la valeur du numérateur est inférieure à la valeur du dénominateur.
- Divisez le numérateur par le dénominateur et notez le quotient et le reste de la division, comme indiqué ci-dessous :
655.347.851 : 612.007.480 = 1 et le reste = 43.340.371 ⇒
655.347.851 = 1 × 612.007.480 + 43.340.371 ⇒
655.347.851/612.007.480 =
(1 × 612.007.480 + 43.340.371)/612.007.480 =
(1 × 612.007.480)/612.007.480 + 43.340.371/612.007.480 =
1 + 43.340.371/612.007.480 =
1 43.340.371/612.007.480
Sous forme de nombre décimal :
Divisez simplement le numérateur par le dénominateur, sans reste, comme indiqué ci-dessous :
1 + 43.340.371/612.007.480 =
1 + 43.340.371 : 612.007.480 ≈
1,070816734135 ≈
1,07
En pourcentage :
- Une valeur en pourcentage p% est égale à la fraction : p/100, pour tout nombre décimal p. Donc, nous devons changer la forme du nombre obtenu ci-dessus, pour avoir un dénominateur de 100.
- Pour ce faire, multipliez le nombre par la fraction 100/100.
- La valeur de la fraction 100/100 = 1, donc en multipliant le nombre par cette fraction, le résultat ne change pas, seulement la forme.