166/291 + 165/298 + 180/323 - 183/318 = ? Soustraire des fractions, calculatrice en ligne. Opération de soustraction expliquée étape par étape
Soustraction de fractions : 166/291 + 165/298 + 180/323 - 183/318 = ?
Simplifier l'opération
Simplifiez les fractions le plus possible, à la forme équivalente la plus simple, irréductible :
- Pour simplifier une fraction à la forme équivalente la plus simple : divisez le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur, PGCD.
- * Pourquoi essaie-t-on de simplifier les fractions ?
- En réduisant les valeurs des numérateurs et des dénominateurs des fractions, les calculs sont plus faciles à effectuer.
- Une fraction simplifiée à la forme équivalente la plus simple est une fraction avec le plus petit numérateur et dénominateur possible, une fraction qui ne peut plus être simplifiée.
* * *
La fraction : 166/291
166/291 est déjà simplifiée à la forme équivalente la plus simple.
- Le numérateur et le dénominateur n'ont pas de facteurs premiers communs.
- La décomposition en facteurs premiers des deux nombres : 166 = 2 × 83
- 291 = 3 × 97
- PGCD (2 × 83; 3 × 97) = 1
La fraction : 165/298
165/298 est déjà simplifiée à la forme équivalente la plus simple.
- Le numérateur et le dénominateur n'ont pas de facteurs premiers communs.
- La décomposition en facteurs premiers des deux nombres : 165 = 3 × 5 × 11
- 298 = 2 × 149
- PGCD (3 × 5 × 11; 2 × 149) = 1
La fraction : 180/323
180/323 est déjà simplifiée à la forme équivalente la plus simple.
- Le numérateur et le dénominateur n'ont pas de facteurs premiers communs.
- La décomposition en facteurs premiers des deux nombres : 180 = 22 × 32 × 5
- 323 = 17 × 19
- PGCD (22 × 32 × 5; 17 × 19) = 1
La fraction : - 183/318
- La décomposition en facteurs premiers du numérateur et du dénominateur :
- 183 = 3 × 61
- 318 = 2 × 3 × 53
- Multipliez tous les facteurs premiers communs : s'il y a des facteurs premiers communs répétitifs, nous ne les prenons qu'une seule fois, et seulement ceux qui ont le plus petit exposant (les plus petites puissances).
- PGCD (183; 318) = 3
- 183/318 = - (183 : 3)/(318 : 3) = - 61/106
Une autre méthode pour simplifier la fraction :
- Sans calculer le PGCD, décomposer le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers et éliminer tous les facteurs communs.
- 183/318 = - (3 × 61)/(2 × 3 × 53) = - ((3 × 61) : 3)/((2 × 3 × 53) : 3) = - 61/106
Réécrivez l'opération simplifiée équivalente :
166/291 + 165/298 + 180/323 - 183/318 =
166/291 + 165/298 + 180/323 - 61/106
Effectuez l'opération de calcul avec les fractions.
Pour additionner ou soustraire des fractions, nous avons besoin qu'elles aient des dénominateurs égaux (le même dénominateur).
- Pour calculer l'opération des fractions, nous devons :
- 1) trouver leur dénominateur commun (le même dénominateur)
- 2) puis calculer les nombres par lesquels chaque dénominateur est multiplié, afin d'avoir tous les dénominateurs des fractions égaux (au même dénominateur)
- 3) puis réduire les fractions au même dénominateur, en les transformant en formes équivalentes, qui ont toutes le même dénominateur
- * Le même dénominateur n'est rien d'autre que le plus petit commun multiple (PPCM) des dénominateurs des fractions.
- Le PPCM sera le même dénominateur des fractions avec lesquelles nous travaillons.
1) Trouver le dénominateur commun
Calculez le PPCM des dénominateurs :
La décomposition des dénominateurs en facteurs premiers :
291 = 3 × 97
298 = 2 × 149
323 = 17 × 19
106 = 2 × 53
Multipliez tous les facteurs premiers uniques : s'il y a des facteurs premiers répétitifs, nous ne les prenons qu'une seule fois, et seulement ceux qui ont le plus grand exposant (les puissances les plus élevées).
PPCM (291; 298; 323; 106) = 2 × 3 × 17 × 19 × 53 × 97 × 149 = 1.484.525.442
2) Calculez les nombres par lesquels chaque dénominateur est multiplié, afin que tous les dénominateurs des fractions soient égaux :
Divisez le PPCM par le dénominateur de chaque fraction.
166/291 ⟶ 1.484.525.442 : 291 = (2 × 3 × 17 × 19 × 53 × 97 × 149) : (3 × 97) = 5.101.462
165/298 ⟶ 1.484.525.442 : 298 = (2 × 3 × 17 × 19 × 53 × 97 × 149) : (2 × 149) = 4.981.629
180/323 ⟶ 1.484.525.442 : 323 = (2 × 3 × 17 × 19 × 53 × 97 × 149) : (17 × 19) = 4.596.054
- 61/106 ⟶ 1.484.525.442 : 106 = (2 × 3 × 17 × 19 × 53 × 97 × 149) : (2 × 53) = 14.004.957
3) Réduire les fractions au même dénominateur :
- Remplacez chaque fraction par une fraction équivalente : multipliez son numérateur et son dénominateur par le nombre correspondant, calculé à l'étape 2 ci-dessus. De cette façon, toutes les fractions auront des dénominateurs égaux (le même dénominateur).
- Maintenez ensuite le dénominateur commun et faites les calculs uniquement avec les numérateurs des fractions.
166/291 + 165/298 + 180/323 - 61/106 =
(5.101.462 × 166)/(5.101.462 × 291) + (4.981.629 × 165)/(4.981.629 × 298) + (4.596.054 × 180)/(4.596.054 × 323) - (14.004.957 × 61)/(14.004.957 × 106) =
846.842.692/1.484.525.442 + 821.968.785/1.484.525.442 + 827.289.720/1.484.525.442 - 854.302.377/1.484.525.442 =
(846.842.692 + 821.968.785 + 827.289.720 - 854.302.377)/1.484.525.442 =
1.641.798.820/1.484.525.442
Réduisez (simplifiez) la fraction le plus possible, à la forme équivalente la plus simple, irréductible :
Calculer le plus grand commun diviseur, PGCD,
du numérateur et du dénominateur de la fraction :
- La décomposition en facteurs premiers du numérateur et du dénominateur :
- 1.641.798.820 = 22 × 5 × 67 × 1.225.223
- 1.484.525.442 = 2 × 3 × 17 × 19 × 53 × 97 × 149
Multipliez tous les facteurs premiers communs : s'il y a des facteurs premiers communs répétitifs, nous ne les prenons qu'une seule fois, et seulement ceux qui ont le plus petit exposant (les plus petites puissances).
PGCD (1.641.798.820; 1.484.525.442) = PGCD (22 × 5 × 67 × 1.225.223; 2 × 3 × 17 × 19 × 53 × 97 × 149) = 2
La fraction peut être réduite (simplifiée) :
Divisez le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur, PGCD.
1.641.798.820/1.484.525.442 =
(1.641.798.820 : 2)/(1.484.525.442 : 1.484.525.442) =
820.899.410/742.262.721
Nous aurions pu simplifier la fraction sans calculer le PGCD. Il suffit de décomposer le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers et d'éliminer les facteurs communs.
1.641.798.820/1.484.525.442 =
(22 × 5 × 67 × 1.225.223)/(2 × 3 × 17 × 19 × 53 × 97 × 149) =
((22 × 5 × 67 × 1.225.223) : 2)/((2 × 3 × 17 × 19 × 53 × 97 × 149) : 2) =
(2 × 5 × 67 × 1.225.223)/(3 × 17 × 19 × 53 × 97 × 149) =
820.899.410/742.262.721
Réécrivez l'opération simplifiée équivalente :
1.641.798.820/1.484.525.442 =
820.899.410/742.262.721
Réécrire la fraction
Sous forme de nombre fractionnaire (également appelé fraction mixte, ou nombre mixte) :
- Un nombre fractionnaire : un nombre entier et une fraction propre, tous deux de même signe.
- Une fraction propre : la valeur du numérateur est inférieure à la valeur du dénominateur.
- Divisez le numérateur par le dénominateur et notez le quotient et le reste de la division, comme indiqué ci-dessous :
820.899.410 : 742.262.721 = 1 et le reste = 78.636.689 ⇒
820.899.410 = 1 × 742.262.721 + 78.636.689 ⇒
820.899.410/742.262.721 =
(1 × 742.262.721 + 78.636.689)/742.262.721 =
(1 × 742.262.721)/742.262.721 + 78.636.689/742.262.721 =
1 + 78.636.689/742.262.721 =
1 78.636.689/742.262.721
Sous forme de nombre décimal :
Divisez simplement le numérateur par le dénominateur, sans reste, comme indiqué ci-dessous :
1 + 78.636.689/742.262.721 =
1 + 78.636.689 : 742.262.721 ≈
1,105941854245 ≈
1,11
En pourcentage :
- Une valeur en pourcentage p% est égale à la fraction : p/100, pour tout nombre décimal p. Donc, nous devons changer la forme du nombre obtenu ci-dessus, pour avoir un dénominateur de 100.
- Pour ce faire, multipliez le nombre par la fraction 100/100.
- La valeur de la fraction 100/100 = 1, donc en multipliant le nombre par cette fraction, le résultat ne change pas, seulement la forme.