- 428/3.164 - 620/418 = ? Soustraire des fractions, calculatrice en ligne. Opération de soustraction expliquée étape par étape
Soustraction de fractions : - 428/3.164 - 620/418 = ?
Simplifier l'opération
Simplifiez les fractions le plus possible, à la forme équivalente la plus simple, irréductible :
- Pour simplifier une fraction à la forme équivalente la plus simple : divisez le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur, PGCD.
- * Pourquoi essaie-t-on de simplifier les fractions ?
- En réduisant les valeurs des numérateurs et des dénominateurs des fractions, les calculs sont plus faciles à effectuer.
- Une fraction simplifiée à la forme équivalente la plus simple est une fraction avec le plus petit numérateur et dénominateur possible, une fraction qui ne peut plus être simplifiée.
* * *
La fraction : - 428/3.164
- La décomposition en facteurs premiers du numérateur et du dénominateur :
- 428 = 22 × 107
- 3.164 = 22 × 7 × 113
- Multipliez tous les facteurs premiers communs : s'il y a des facteurs premiers communs répétitifs, nous ne les prenons qu'une seule fois, et seulement ceux qui ont le plus petit exposant (les plus petites puissances).
- PGCD (428; 3.164) = 22 = 4
- 428/3.164 = - (428 : 4)/(3.164 : 4) = - 107/791
Une autre méthode pour simplifier la fraction :
- Sans calculer le PGCD, décomposer le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers et éliminer tous les facteurs communs.
- 428/3.164 = - (22 × 107)/(22 × 7 × 113) = - ((22 × 107) : 22 )/((22 × 7 × 113) : 22 ) = - 107/791
La fraction : - 620/418
- 620 = 22 × 5 × 31
- 418 = 2 × 11 × 19
- PGCD (620; 418) = 2
- 620/418 = - (620 : 2)/(418 : 2) = - 310/209
- Nous aurions pu simplifier la fraction sans calculer le PGCD. Il suffit de décomposer le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers et d'éliminer les facteurs communs.
- 620/418 = - (22 × 5 × 31)/(2 × 11 × 19) = - ((22 × 5 × 31) : 2)/((2 × 11 × 19) : 2) = - 310/209
Réécrivez l'opération simplifiée équivalente :
- 428/3.164 - 620/418 =
- 107/791 - 310/209
On réécrit les fractions impropres :
- Une fraction impropre : la valeur du numérateur est supérieure ou égale à la valeur du dénominateur.
- Une fraction propre : la valeur du numérateur est inférieure à la valeur du dénominateur.
- Chaque fraction impropre sera réécrite comme un nombre entier et une fraction propre, les deux ayant le même signe : divisez le numérateur par le dénominateur et notez le quotient et le reste de la division, comme indiqué ci-dessous.
- Pourquoi réécrivons-nous les fractions impropres ?
- En réduisant la valeur du numérateur d'une fraction, les calculs avec cette fraction deviennent plus faciles à effectuer.
La fraction : - 310/209
- 310 : 209 = - 1 et le reste = - 101 ⇒ - 310 = - 1 × 209 - 101
- 310/209 = ( - 1 × 209 - 101)/209 = ( - 1 × 209)/209 - 101/209 = - 1 - 101/209
Réécrivez l'opération simplifiée équivalente :
- 107/791 - 310/209 =
- 107/791 - 1 - 101/209 =
- 1 - 107/791 - 101/209
Effectuez l'opération de calcul avec les fractions.
Pour additionner ou soustraire des fractions, nous avons besoin qu'elles aient des dénominateurs égaux (le même dénominateur).
- Pour calculer l'opération des fractions, nous devons :
- 1) trouver leur dénominateur commun (le même dénominateur)
- 2) puis calculer les nombres par lesquels chaque dénominateur est multiplié, afin d'avoir tous les dénominateurs des fractions égaux (au même dénominateur)
- 3) puis réduire les fractions au même dénominateur, en les transformant en formes équivalentes, qui ont toutes le même dénominateur
- * Le même dénominateur n'est rien d'autre que le plus petit commun multiple (PPCM) des dénominateurs des fractions.
- Le PPCM sera le même dénominateur des fractions avec lesquelles nous travaillons.
1) Trouver le dénominateur commun
Calculez le PPCM des dénominateurs :
La décomposition des dénominateurs en facteurs premiers :
791 = 7 × 113
209 = 11 × 19
Multipliez tous les facteurs premiers uniques : s'il y a des facteurs premiers répétitifs, nous ne les prenons qu'une seule fois, et seulement ceux qui ont le plus grand exposant (les puissances les plus élevées).
PPCM (791; 209) = 7 × 11 × 19 × 113 = 165.319
2) Calculez les nombres par lesquels chaque dénominateur est multiplié, afin que tous les dénominateurs des fractions soient égaux :
Divisez le PPCM par le dénominateur de chaque fraction.
- 107/791 ⟶ 165.319 : 791 = (7 × 11 × 19 × 113) : (7 × 113) = 209
- 101/209 ⟶ 165.319 : 209 = (7 × 11 × 19 × 113) : (11 × 19) = 791
3) Réduire les fractions au même dénominateur :
- Remplacez chaque fraction par une fraction équivalente : multipliez son numérateur et son dénominateur par le nombre correspondant, calculé à l'étape 2 ci-dessus. De cette façon, toutes les fractions auront des dénominateurs égaux (le même dénominateur).
- Maintenez ensuite le dénominateur commun et faites les calculs uniquement avec les numérateurs des fractions.
- 1 - 107/791 - 101/209 =
- 1 - (209 × 107)/(209 × 791) - (791 × 101)/(791 × 209) =
- 1 - 22.363/165.319 - 79.891/165.319 =
- 1 + ( - 22.363 - 79.891)/165.319 =
- 1 - 102.254/165.319
Réduisez (simplifiez) la fraction le plus possible, à la forme équivalente la plus simple, irréductible :
- 102.254/165.319 est déjà simplifiée à la forme équivalente la plus simple.
Le numérateur et le dénominateur n'ont pas de facteurs premiers communs.
- La décomposition en facteurs premiers des deux nombres :
- 102.254 = 2 × 29 × 41 × 43
- 165.319 = 7 × 11 × 19 × 113
- PGCD (2 × 29 × 41 × 43; 7 × 11 × 19 × 113) = 1
Réécrivez le résultat intermédiaire
Sous forme de nombre fractionnaire (également appelé fraction mixte, ou nombre mixte) :
- Un nombre fractionnaire : un nombre entier et une fraction propre, tous deux de même signe.
- Une fraction propre : la valeur du numérateur est inférieure à la valeur du dénominateur.
- 1 - 102.254/165.319 = - 1 102.254/165.319
Comme fraction impropre négative :
(le numérateur >= le dénominateur)
Une fraction impropre : la valeur du numérateur est supérieure ou égale à la valeur du dénominateur.
- 1 - 102.254/165.319 =
( - 1 × 165.319)/165.319 - 102.254/165.319 =
( - 1 × 165.319 - 102.254)/165.319 =
- 267.573/165.319
Sous forme de nombre décimal :
Divisez simplement le numérateur par le dénominateur, sans reste, comme indiqué ci-dessous :
- 1 - 102.254/165.319 =
- 1 - 102.254 : 165.319 ≈
- 1,618525396355 ≈
- 1,62
En pourcentage :
- Une valeur en pourcentage p% est égale à la fraction : p/100, pour tout nombre décimal p. Donc, nous devons changer la forme du nombre obtenu ci-dessus, pour avoir un dénominateur de 100.
- Pour ce faire, multipliez le nombre par la fraction 100/100.
- La valeur de la fraction 100/100 = 1, donc en multipliant le nombre par cette fraction, le résultat ne change pas, seulement la forme.