- 29/1.218 + 22/7 + 40/1.027 - 31/9 = ? Soustraire des fractions, calculatrice en ligne. Opération de soustraction expliquée étape par étape
Soustraction de fractions : - 29/1.218 + 22/7 + 40/1.027 - 31/9 = ?
Simplifier l'opération
Simplifiez les fractions le plus possible, à la forme équivalente la plus simple, irréductible :
- Pour simplifier une fraction à la forme équivalente la plus simple : divisez le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur, PGCD.
- * Pourquoi essaie-t-on de simplifier les fractions ?
- En réduisant les valeurs des numérateurs et des dénominateurs des fractions, les calculs sont plus faciles à effectuer.
- Une fraction simplifiée à la forme équivalente la plus simple est une fraction avec le plus petit numérateur et dénominateur possible, une fraction qui ne peut plus être simplifiée.
* * *
La fraction : - 29/1.218
- La décomposition en facteurs premiers du numérateur et du dénominateur :
- 29 est un nombre premier
- 1.218 = 2 × 3 × 7 × 29
- Multipliez tous les facteurs premiers communs : s'il y a des facteurs premiers communs répétitifs, nous ne les prenons qu'une seule fois, et seulement ceux qui ont le plus petit exposant (les plus petites puissances).
- PGCD (29; 1.218) = 29
- 29/1.218 = - (29 : 29)/(1.218 : 29) = - 1/42
Une autre méthode pour simplifier la fraction :
- Sans calculer le PGCD, décomposer le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers et éliminer tous les facteurs communs.
- 29/1.218 = - 29/(2 × 3 × 7 × 29) = - (29 : 29)/((2 × 3 × 7 × 29) : 29) = - 1/42
La fraction : 22/7
22/7 est déjà simplifiée à la forme équivalente la plus simple.
- Le numérateur et le dénominateur n'ont pas de facteurs premiers communs.
- La décomposition en facteurs premiers des deux nombres : 22 = 2 × 11
- 7 est un nombre premier
- PGCD (2 × 11; 7) = 1
La fraction : 40/1.027
40/1.027 est déjà simplifiée à la forme équivalente la plus simple.
- Le numérateur et le dénominateur n'ont pas de facteurs premiers communs.
- La décomposition en facteurs premiers des deux nombres : 40 = 23 × 5
- 1.027 = 13 × 79
- PGCD (23 × 5; 13 × 79) = 1
La fraction : - 31/9
- 31/9 est déjà simplifiée à la forme équivalente la plus simple.
- Le numérateur et le dénominateur n'ont pas de facteurs premiers communs.
- La décomposition en facteurs premiers des deux nombres : 31 est un nombre premier
- 9 = 32
- PGCD (31; 32) = 1
Réécrivez l'opération simplifiée équivalente :
- 29/1.218 + 22/7 + 40/1.027 - 31/9 =
- 1/42 + 22/7 + 40/1.027 - 31/9
On réécrit les fractions impropres :
- Une fraction impropre : la valeur du numérateur est supérieure ou égale à la valeur du dénominateur.
- Une fraction propre : la valeur du numérateur est inférieure à la valeur du dénominateur.
- Chaque fraction impropre sera réécrite comme un nombre entier et une fraction propre, les deux ayant le même signe : divisez le numérateur par le dénominateur et notez le quotient et le reste de la division, comme indiqué ci-dessous.
- Pourquoi réécrivons-nous les fractions impropres ?
- En réduisant la valeur du numérateur d'une fraction, les calculs avec cette fraction deviennent plus faciles à effectuer.
La fraction : 22/7
22 : 7 = 3 et le reste = 1 ⇒ 22 = 3 × 7 + 1
22/7 = (3 × 7 + 1)/7 = (3 × 7)/7 + 1/7 = 3 + 1/7
La fraction : - 31/9
- 31 : 9 = - 3 et le reste = - 4 ⇒ - 31 = - 3 × 9 - 4
- 31/9 = ( - 3 × 9 - 4)/9 = ( - 3 × 9)/9 - 4/9 = - 3 - 4/9
Réécrivez l'opération simplifiée équivalente :
- 1/42 + 22/7 + 40/1.027 - 31/9 =
- 1/42 + 3 + 1/7 + 40/1.027 - 3 - 4/9 =
- 1/42 + 1/7 + 40/1.027 - 4/9
Effectuez l'opération de calcul avec les fractions.
Pour additionner ou soustraire des fractions, nous avons besoin qu'elles aient des dénominateurs égaux (le même dénominateur).
- Pour calculer l'opération des fractions, nous devons :
- 1) trouver leur dénominateur commun (le même dénominateur)
- 2) puis calculer les nombres par lesquels chaque dénominateur est multiplié, afin d'avoir tous les dénominateurs des fractions égaux (au même dénominateur)
- 3) puis réduire les fractions au même dénominateur, en les transformant en formes équivalentes, qui ont toutes le même dénominateur
- * Le même dénominateur n'est rien d'autre que le plus petit commun multiple (PPCM) des dénominateurs des fractions.
- Le PPCM sera le même dénominateur des fractions avec lesquelles nous travaillons.
1) Trouver le dénominateur commun
Calculez le PPCM des dénominateurs :
La décomposition des dénominateurs en facteurs premiers :
42 = 2 × 3 × 7
7 est un nombre premier
1.027 = 13 × 79
9 = 32
Multipliez tous les facteurs premiers uniques : s'il y a des facteurs premiers répétitifs, nous ne les prenons qu'une seule fois, et seulement ceux qui ont le plus grand exposant (les puissances les plus élevées).
PPCM (42; 7; 1.027; 9) = 2 × 32 × 7 × 13 × 79 = 129.402
2) Calculez les nombres par lesquels chaque dénominateur est multiplié, afin que tous les dénominateurs des fractions soient égaux :
Divisez le PPCM par le dénominateur de chaque fraction.
- 1/42 ⟶ 129.402 : 42 = (2 × 32 × 7 × 13 × 79) : (2 × 3 × 7) = 3.081
1/7 ⟶ 129.402 : 7 = (2 × 32 × 7 × 13 × 79) : 7 = 18.486
40/1.027 ⟶ 129.402 : 1.027 = (2 × 32 × 7 × 13 × 79) : (13 × 79) = 126
- 4/9 ⟶ 129.402 : 9 = (2 × 32 × 7 × 13 × 79) : 32 = 14.378
3) Réduire les fractions au même dénominateur :
- Remplacez chaque fraction par une fraction équivalente : multipliez son numérateur et son dénominateur par le nombre correspondant, calculé à l'étape 2 ci-dessus. De cette façon, toutes les fractions auront des dénominateurs égaux (le même dénominateur).
- Maintenez ensuite le dénominateur commun et faites les calculs uniquement avec les numérateurs des fractions.
- 1/42 + 1/7 + 40/1.027 - 4/9 =
- (3.081 × 1)/(3.081 × 42) + (18.486 × 1)/(18.486 × 7) + (126 × 40)/(126 × 1.027) - (14.378 × 4)/(14.378 × 9) =
- 3.081/129.402 + 18.486/129.402 + 5.040/129.402 - 57.512/129.402 =
( - 3.081 + 18.486 + 5.040 - 57.512)/129.402 =
- 37.067/129.402
Réduisez (simplifiez) la fraction le plus possible, à la forme équivalente la plus simple, irréductible :
- 37.067/129.402 est déjà simplifiée à la forme équivalente la plus simple.
Le numérateur et le dénominateur n'ont pas de facteurs premiers communs.
- La décomposition en facteurs premiers des deux nombres :
- 37.067 = 101 × 367
- 129.402 = 2 × 32 × 7 × 13 × 79
- PGCD (101 × 367; 2 × 32 × 7 × 13 × 79) = 1
Réécrire la fraction
Sous forme de nombre décimal :
Divisez simplement le numérateur par le dénominateur, sans reste, comme indiqué ci-dessous :
- 37.067/129.402 =
- 37.067 : 129.402 ≈
- 0,286448432018 ≈
- 0,29
En pourcentage :
- Une valeur en pourcentage p% est égale à la fraction : p/100, pour tout nombre décimal p. Donc, nous devons changer la forme du nombre obtenu ci-dessus, pour avoir un dénominateur de 100.
- Pour ce faire, multipliez le nombre par la fraction 100/100.
- La valeur de la fraction 100/100 = 1, donc en multipliant le nombre par cette fraction, le résultat ne change pas, seulement la forme.