- 100/165 - 158/80 = ? Soustraire des fractions, calculatrice en ligne. Opération de soustraction expliquée étape par étape
Soustraction de fractions : - 100/165 - 158/80 = ?
Simplifier l'opération
Simplifiez les fractions le plus possible, à la forme équivalente la plus simple, irréductible :
- Pour simplifier une fraction à la forme équivalente la plus simple : divisez le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur, PGCD.
- * Pourquoi essaie-t-on de simplifier les fractions ?
- En réduisant les valeurs des numérateurs et des dénominateurs des fractions, les calculs sont plus faciles à effectuer.
- Une fraction simplifiée à la forme équivalente la plus simple est une fraction avec le plus petit numérateur et dénominateur possible, une fraction qui ne peut plus être simplifiée.
* * *
La fraction : - 100/165
- La décomposition en facteurs premiers du numérateur et du dénominateur :
- 100 = 22 × 52
- 165 = 3 × 5 × 11
- Multipliez tous les facteurs premiers communs : s'il y a des facteurs premiers communs répétitifs, nous ne les prenons qu'une seule fois, et seulement ceux qui ont le plus petit exposant (les plus petites puissances).
- PGCD (100; 165) = 5
- 100/165 = - (100 : 5)/(165 : 5) = - 20/33
Une autre méthode pour simplifier la fraction :
- Sans calculer le PGCD, décomposer le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers et éliminer tous les facteurs communs.
- 100/165 = - (22 × 52)/(3 × 5 × 11) = - ((22 × 52) : 5)/((3 × 5 × 11) : 5) = - 20/33
La fraction : - 158/80
- 158 = 2 × 79
- 80 = 24 × 5
- PGCD (158; 80) = 2
- 158/80 = - (158 : 2)/(80 : 2) = - 79/40
- Nous aurions pu simplifier la fraction sans calculer le PGCD. Il suffit de décomposer le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers et d'éliminer les facteurs communs.
- 158/80 = - (2 × 79)/(24 × 5) = - ((2 × 79) : 2)/((24 × 5) : 2) = - 79/40
Réécrivez l'opération simplifiée équivalente :
- 100/165 - 158/80 =
- 20/33 - 79/40
On réécrit les fractions impropres :
- Une fraction impropre : la valeur du numérateur est supérieure ou égale à la valeur du dénominateur.
- Une fraction propre : la valeur du numérateur est inférieure à la valeur du dénominateur.
- Chaque fraction impropre sera réécrite comme un nombre entier et une fraction propre, les deux ayant le même signe : divisez le numérateur par le dénominateur et notez le quotient et le reste de la division, comme indiqué ci-dessous.
- Pourquoi réécrivons-nous les fractions impropres ?
- En réduisant la valeur du numérateur d'une fraction, les calculs avec cette fraction deviennent plus faciles à effectuer.
La fraction : - 79/40
- 79 : 40 = - 1 et le reste = - 39 ⇒ - 79 = - 1 × 40 - 39
- 79/40 = ( - 1 × 40 - 39)/40 = ( - 1 × 40)/40 - 39/40 = - 1 - 39/40
Réécrivez l'opération simplifiée équivalente :
- 20/33 - 79/40 =
- 20/33 - 1 - 39/40 =
- 1 - 20/33 - 39/40
Effectuez l'opération de calcul avec les fractions.
Pour additionner ou soustraire des fractions, nous avons besoin qu'elles aient des dénominateurs égaux (le même dénominateur).
- Pour calculer l'opération des fractions, nous devons :
- 1) trouver leur dénominateur commun (le même dénominateur)
- 2) puis calculer les nombres par lesquels chaque dénominateur est multiplié, afin d'avoir tous les dénominateurs des fractions égaux (au même dénominateur)
- 3) puis réduire les fractions au même dénominateur, en les transformant en formes équivalentes, qui ont toutes le même dénominateur
- * Le même dénominateur n'est rien d'autre que le plus petit commun multiple (PPCM) des dénominateurs des fractions.
- Le PPCM sera le même dénominateur des fractions avec lesquelles nous travaillons.
1) Trouver le dénominateur commun
Calculez le PPCM des dénominateurs :
La décomposition des dénominateurs en facteurs premiers :
33 = 3 × 11
40 = 23 × 5
Multipliez tous les facteurs premiers uniques : s'il y a des facteurs premiers répétitifs, nous ne les prenons qu'une seule fois, et seulement ceux qui ont le plus grand exposant (les puissances les plus élevées).
PPCM (33; 40) = 23 × 3 × 5 × 11 = 1.320
2) Calculez les nombres par lesquels chaque dénominateur est multiplié, afin que tous les dénominateurs des fractions soient égaux :
Divisez le PPCM par le dénominateur de chaque fraction.
- 20/33 ⟶ 1.320 : 33 = (23 × 3 × 5 × 11) : (3 × 11) = 40
- 39/40 ⟶ 1.320 : 40 = (23 × 3 × 5 × 11) : (23 × 5) = 33
3) Réduire les fractions au même dénominateur :
- Remplacez chaque fraction par une fraction équivalente : multipliez son numérateur et son dénominateur par le nombre correspondant, calculé à l'étape 2 ci-dessus. De cette façon, toutes les fractions auront des dénominateurs égaux (le même dénominateur).
- Maintenez ensuite le dénominateur commun et faites les calculs uniquement avec les numérateurs des fractions.
- 1 - 20/33 - 39/40 =
- 1 - (40 × 20)/(40 × 33) - (33 × 39)/(33 × 40) =
- 1 - 800/1.320 - 1.287/1.320 =
- 1 + ( - 800 - 1.287)/1.320 =
- 1 - 2.087/1.320
Réduisez (simplifiez) la fraction le plus possible, à la forme équivalente la plus simple, irréductible :
- 2.087/1.320 est déjà simplifiée à la forme équivalente la plus simple.
Le numérateur et le dénominateur n'ont pas de facteurs premiers communs.
- La décomposition en facteurs premiers des deux nombres :
- 2.087 est un nombre premier
- 1.320 = 23 × 3 × 5 × 11
- PGCD (2.087; 23 × 3 × 5 × 11) = 1
Réécrivez le résultat intermédiaire
Comme fraction impropre négative :
(le numérateur >= le dénominateur)
- Une fraction impropre : la valeur du numérateur est supérieure ou égale à la valeur du dénominateur.
- 1 - 2.087/1.320 =
( - 1 × 1.320)/1.320 - 2.087/1.320 =
( - 1 × 1.320 - 2.087)/1.320 =
- 3.407/1.320
Sous forme de nombre fractionnaire (également appelé fraction mixte, ou nombre mixte) :
- Un nombre fractionnaire : un nombre entier et une fraction propre, tous deux de même signe.
- Une fraction propre : la valeur du numérateur est inférieure à la valeur du dénominateur.
- Divisez le numérateur par le dénominateur et notez le quotient et le reste de la division, comme indiqué ci-dessous :
- 3.407 : 1.320 = - 2 et le reste = - 767 ⇒
- 3.407 = - 2 × 1.320 - 767 ⇒
- 3.407/1.320 =
( - 2 × 1.320 - 767)/1.320 =
( - 2 × 1.320)/1.320 - 767/1.320 =
- 2 - 767/1.320 =
- 2 767/1.320
Sous forme de nombre décimal :
Divisez simplement le numérateur par le dénominateur, sans reste, comme indiqué ci-dessous :
- 2 - 767/1.320 =
- 2 - 767 : 1.320 ≈
- 2,581060606061 ≈
- 2,58
En pourcentage :
- Une valeur en pourcentage p% est égale à la fraction : p/100, pour tout nombre décimal p. Donc, nous devons changer la forme du nombre obtenu ci-dessus, pour avoir un dénominateur de 100.
- Pour ce faire, multipliez le nombre par la fraction 100/100.
- La valeur de la fraction 100/100 = 1, donc en multipliant le nombre par cette fraction, le résultat ne change pas, seulement la forme.