28/12 - 33/13 - 20/20 + 23/21 = ? Additionner des fractions, calculatrice en ligne. Opération d'addition expliquée étape par étape
Addition de fractions : 28/12 - 33/13 - 20/20 + 23/21 = ?
Simplifier l'opération
Simplifiez les fractions le plus possible, à la forme équivalente la plus simple, irréductible :
- Pour simplifier une fraction à la forme équivalente la plus simple : divisez le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur, PGCD.
- * Pourquoi essaie-t-on de simplifier les fractions ?
- En réduisant les valeurs des numérateurs et des dénominateurs des fractions, les calculs sont plus faciles à effectuer.
- Une fraction simplifiée à la forme équivalente la plus simple est une fraction avec le plus petit numérateur et dénominateur possible, une fraction qui ne peut plus être simplifiée.
* * *
La fraction : 28/12
- La décomposition en facteurs premiers du numérateur et du dénominateur :
- 28 = 22 × 7
- 12 = 22 × 3
- Multipliez tous les facteurs premiers communs : s'il y a des facteurs premiers communs répétitifs, nous ne les prenons qu'une seule fois, et seulement ceux qui ont le plus petit exposant (les plus petites puissances).
- PGCD (28; 12) = 22 = 4
28/12 = (28 : 4)/(12 : 4) = 7/3
Une autre méthode pour simplifier la fraction :
- Sans calculer le PGCD, décomposer le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers et éliminer tous les facteurs communs.
28/12 = (22 × 7)/(22 × 3) = ((22 × 7) : 22 )/((22 × 3) : 22 ) = 7/3
La fraction : - 33/13
- 33/13 est déjà simplifiée à la forme équivalente la plus simple.
- Le numérateur et le dénominateur n'ont pas de facteurs premiers communs.
- La décomposition en facteurs premiers des deux nombres : 33 = 3 × 11
- 13 est un nombre premier
- PGCD (3 × 11; 13) = 1
La fraction : - 20/20
- 20/20 = - (20 : 20)/(20 : 20) = - 1/1 = - 1
La fraction : 23/21
23/21 est déjà simplifiée à la forme équivalente la plus simple.
- Le numérateur et le dénominateur n'ont pas de facteurs premiers communs.
- La décomposition en facteurs premiers des deux nombres : 23 est un nombre premier
- 21 = 3 × 7
- PGCD (23; 3 × 7) = 1
Réécrivez l'opération simplifiée équivalente :
28/12 - 33/13 - 20/20 + 23/21 =
7/3 - 33/13 - 1 + 23/21 =
- 1 + 7/3 - 33/13 + 23/21
On réécrit les fractions impropres :
- Une fraction impropre : la valeur du numérateur est supérieure ou égale à la valeur du dénominateur.
- Une fraction propre : la valeur du numérateur est inférieure à la valeur du dénominateur.
- Chaque fraction impropre sera réécrite comme un nombre entier et une fraction propre, les deux ayant le même signe : divisez le numérateur par le dénominateur et notez le quotient et le reste de la division, comme indiqué ci-dessous.
- Pourquoi réécrivons-nous les fractions impropres ?
- En réduisant la valeur du numérateur d'une fraction, les calculs avec cette fraction deviennent plus faciles à effectuer.
La fraction : 7/3
7 : 3 = 2 et le reste = 1 ⇒ 7 = 2 × 3 + 1
7/3 = (2 × 3 + 1)/3 = (2 × 3)/3 + 1/3 = 2 + 1/3
La fraction : - 33/13
- 33 : 13 = - 2 et le reste = - 7 ⇒ - 33 = - 2 × 13 - 7
- 33/13 = ( - 2 × 13 - 7)/13 = ( - 2 × 13)/13 - 7/13 = - 2 - 7/13
La fraction : 23/21
23 : 21 = 1 et le reste = 2 ⇒ 23 = 1 × 21 + 2
23/21 = (1 × 21 + 2)/21 = (1 × 21)/21 + 2/21 = 1 + 2/21
Réécrivez l'opération simplifiée équivalente :
- 1 + 7/3 - 33/13 + 23/21 =
- 1 + 2 + 1/3 - 2 - 7/13 + 1 + 2/21 =
1/3 - 7/13 + 2/21
Effectuez l'opération de calcul avec les fractions.
Pour additionner ou soustraire des fractions, nous avons besoin qu'elles aient des dénominateurs égaux (le même dénominateur).
- Pour calculer l'opération des fractions, nous devons :
- 1) trouver leur dénominateur commun (le même dénominateur)
- 2) puis calculer les nombres par lesquels chaque dénominateur est multiplié, afin d'avoir tous les dénominateurs des fractions égaux (au même dénominateur)
- 3) puis réduire les fractions au même dénominateur, en les transformant en formes équivalentes, qui ont toutes le même dénominateur
- * Le même dénominateur n'est rien d'autre que le plus petit commun multiple (PPCM) des dénominateurs des fractions.
- Le PPCM sera le même dénominateur des fractions avec lesquelles nous travaillons.
1) Trouver le dénominateur commun
Calculez le PPCM des dénominateurs :
La décomposition des dénominateurs en facteurs premiers :
3 est un nombre premier
13 est un nombre premier
21 = 3 × 7
Multipliez tous les facteurs premiers uniques : s'il y a des facteurs premiers répétitifs, nous ne les prenons qu'une seule fois, et seulement ceux qui ont le plus grand exposant (les puissances les plus élevées).
PPCM (3; 13; 21) = 3 × 7 × 13 = 273
2) Calculez les nombres par lesquels chaque dénominateur est multiplié, afin que tous les dénominateurs des fractions soient égaux :
Divisez le PPCM par le dénominateur de chaque fraction.
1/3 ⟶ 273 : 3 = (3 × 7 × 13) : 3 = 91
- 7/13 ⟶ 273 : 13 = (3 × 7 × 13) : 13 = 21
2/21 ⟶ 273 : 21 = (3 × 7 × 13) : (3 × 7) = 13
3) Réduire les fractions au même dénominateur :
- Remplacez chaque fraction par une fraction équivalente : multipliez son numérateur et son dénominateur par le nombre correspondant, calculé à l'étape 2 ci-dessus. De cette façon, toutes les fractions auront des dénominateurs égaux (le même dénominateur).
- Maintenez ensuite le dénominateur commun et faites les calculs uniquement avec les numérateurs des fractions.
1/3 - 7/13 + 2/21 =
(91 × 1)/(91 × 3) - (21 × 7)/(21 × 13) + (13 × 2)/(13 × 21) =
91/273 - 147/273 + 26/273 =
(91 - 147 + 26)/273 =
- 30/273
Réduisez (simplifiez) la fraction le plus possible, à la forme équivalente la plus simple, irréductible :
Calculer le plus grand commun diviseur, PGCD,
du numérateur et du dénominateur de la fraction :
- La décomposition en facteurs premiers du numérateur et du dénominateur :
- 30 = 2 × 3 × 5
- 273 = 3 × 7 × 13
Multipliez tous les facteurs premiers communs : s'il y a des facteurs premiers communs répétitifs, nous ne les prenons qu'une seule fois, et seulement ceux qui ont le plus petit exposant (les plus petites puissances).
PGCD (30; 273) = PGCD (2 × 3 × 5; 3 × 7 × 13) = 3
La fraction peut être réduite (simplifiée) :
Divisez le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur, PGCD.
- 30/273 =
- (30 : 3)/(273 : 273) =
- 10/91
Nous aurions pu simplifier la fraction sans calculer le PGCD. Il suffit de décomposer le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers et d'éliminer les facteurs communs.
- 30/273 =
- (2 × 3 × 5)/(3 × 7 × 13) =
- ((2 × 3 × 5) : 3)/((3 × 7 × 13) : 3) =
- (2 × 5)/(7 × 13) =
- 10/91
Réécrivez l'opération simplifiée équivalente :
- 30/273 =
- 10/91
Réécrire la fraction
Sous forme de nombre décimal :
Divisez simplement le numérateur par le dénominateur, sans reste, comme indiqué ci-dessous :
- 10/91 =
- 10 : 91 ≈
- 0,10989010989 ≈
- 0,11
En pourcentage :
- Une valeur en pourcentage p% est égale à la fraction : p/100, pour tout nombre décimal p. Donc, nous devons changer la forme du nombre obtenu ci-dessus, pour avoir un dénominateur de 100.
- Pour ce faire, multipliez le nombre par la fraction 100/100.
- La valeur de la fraction 100/100 = 1, donc en multipliant le nombre par cette fraction, le résultat ne change pas, seulement la forme.
- 0,10989010989 =
- 0,10989010989 × 100/100 =
( - 0,10989010989 × 100)/100 =
- 10,989010989011/100 ≈
- 10,989010989011% ≈
- 10,99%
La réponse finale :
:: écrite de trois manières ::
Sous forme de fraction propre négative :
(le numérateur < le dénominateur)
28/12 - 33/13 - 20/20 + 23/21 = - 10/91
Sous forme de nombre décimal :
28/12 - 33/13 - 20/20 + 23/21 ≈ - 0,11
En pourcentage :
28/12 - 33/13 - 20/20 + 23/21 ≈ - 10,99%
Comment les nombres sont-ils écrits sur notre site Web : le point '.' est utilisé comme séparateur de milliers ; la virgule ',' est utilisée comme séparateur décimal ; les nombres sont arrondis à 12 décimales maximum (le cas échéant). L'ensemble des symboles utilisés sur notre site : / la ligne de fraction ; : partage; × multiplier ; + plus (additionner) ; - moins (soustraction) ; = égal ; ≈ approximativement égal.