^2.080/_1.284 + ^1.242/_1.995 - ^1.354/_1.980 - ^1.341/_2.034 - ^1.241/_8.265 - ^2.022/_1.288 - ^1.284/_2.078 = ? Additionner des fractions, calculatrice en ligne. Opération d'addition expliquée étape par étape

• Pour simplifier une fraction à la forme équivalente la plus simple : divisez le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur, PGCD.
• * Pourquoi essaie-t-on de simplifier les fractions ?
• En réduisant les valeurs des numérateurs et des dénominateurs des fractions, les calculs sont plus faciles à effectuer.
• Une fraction simplifiée à la forme équivalente la plus simple est une fraction avec le plus petit numérateur et dénominateur possible, une fraction qui ne peut plus être simplifiée.

• La décomposition en facteurs premiers du numérateur et du dénominateur :
• 2.080 = 2⁵ × 5 × 13
• 1.284 = 2² × 3 × 107
• Multipliez tous les facteurs premiers communs : s'il y a des facteurs premiers communs répétitifs, nous ne les prenons qu'une seule fois, et seulement ceux qui ont le plus petit exposant (les plus petites puissances).
• PGCD (2.080; 1.284) = 2² = 4

• Une autre méthode pour simplifier la fraction :

• Sans calculer le PGCD, décomposer le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers et éliminer tous les facteurs communs.

• ^2.080/_1.284 = ^{(25 × 5 × 13)}/_{(2² × 3 × 107)} = ^{((25 × 5 × 13) : 22 )}/_{((2² × 3 × 107) : 2² )} = ⁵²⁰/₃₂₁

• 1.242 = 2 × 3³ × 23
• 1.995 = 3 × 5 × 7 × 19
• PGCD (1.242; 1.995) = 3

• Nous aurions pu simplifier la fraction sans calculer le PGCD. Il suffit de décomposer le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers et d'éliminer les facteurs communs.

• ^1.242/_1.995 = ^{(2 × 33 × 23)}/_{(3 × 5 × 7 × 19)} = ^{((2 × 33 × 23) : 3)}/_{((3 × 5 × 7 × 19) : 3)} = ⁴¹⁴/₆₆₅

• 1.354 = 2 × 677
• 1.980 = 2² × 3² × 5 × 11
• PGCD (1.354; 1.980) = 2

• Nous aurions pu simplifier la fraction sans calculer le PGCD. Il suffit de décomposer le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers et d'éliminer les facteurs communs.

• - ^1.354/_1.980 = - ^{(2 × 677)}/_{(2² × 3² × 5 × 11)} = - ^{((2 × 677) : 2)}/_{((2² × 3² × 5 × 11) : 2)} = - ⁶⁷⁷/₉₉₀

• 1.341 = 3² × 149
• 2.034 = 2 × 3² × 113
• PGCD (1.341; 2.034) = 3² = 9

• Nous aurions pu simplifier la fraction sans calculer le PGCD. Il suffit de décomposer le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers et d'éliminer les facteurs communs.

• - ^1.341/_2.034 = - ^{(32 × 149)}/_{(2 × 3² × 113)} = - ^{((32 × 149) : 32 )}/_{((2 × 3² × 113) : 3² )} = - ¹⁴⁹/₂₂₆

• Le numérateur et le dénominateur n'ont pas de facteurs premiers communs.
• La décomposition en facteurs premiers des deux nombres :
1.241 = 17 × 73
• 8.265 = 3 × 5 × 19 × 29
• PGCD (17 × 73; 3 × 5 × 19 × 29) = 1

• 2.022 = 2 × 3 × 337
• 1.288 = 2³ × 7 × 23
• PGCD (2.022; 1.288) = 2

• Nous aurions pu simplifier la fraction sans calculer le PGCD. Il suffit de décomposer le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers et d'éliminer les facteurs communs.

• - ^2.022/_1.288 = - ^{(2 × 3 × 337)}/_{(2³ × 7 × 23)} = - ^{((2 × 3 × 337) : 2)}/_{((2³ × 7 × 23) : 2)} = - ^1.011/₆₄₄

• 1.284 = 2² × 3 × 107
• 2.078 = 2 × 1.039
• PGCD (1.284; 2.078) = 2

• Nous aurions pu simplifier la fraction sans calculer le PGCD. Il suffit de décomposer le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers et d'éliminer les facteurs communs.

• - ^1.284/_2.078 = - ^{(22 × 3 × 107)}/_{(2 × 1.039)} = - ^{((22 × 3 × 107) : 2)}/_{((2 × 1.039) : 2)} = - ⁶⁴²/_1.039

• Une fraction impropre : la valeur du numérateur est supérieure ou égale à la valeur du dénominateur.
• Une fraction propre : la valeur du numérateur est inférieure à la valeur du dénominateur.
• Chaque fraction impropre sera réécrite comme un nombre entier et une fraction propre, les deux ayant le même signe : divisez le numérateur par le dénominateur et notez le quotient et le reste de la division, comme indiqué ci-dessous.
• Pourquoi réécrivons-nous les fractions impropres ?
• En réduisant la valeur du numérateur d'une fraction, les calculs avec cette fraction deviennent plus faciles à effectuer.

• Pour calculer l'opération des fractions, nous devons :
• 1) trouver leur dénominateur commun (le même dénominateur)
• 2) puis calculer les nombres par lesquels chaque dénominateur est multiplié, afin d'avoir tous les dénominateurs des fractions égaux (au même dénominateur)
• 3) puis réduire les fractions au même dénominateur, en les transformant en formes équivalentes, qui ont toutes le même dénominateur

• * Le même dénominateur n'est rien d'autre que le plus petit commun multiple (PPCM) des dénominateurs des fractions.
• Le PPCM sera le même dénominateur des fractions avec lesquelles nous travaillons.

Multipliez tous les facteurs premiers uniques : s'il y a des facteurs premiers répétitifs, nous ne les prenons qu'une seule fois, et seulement ceux qui ont le plus grand exposant (les puissances les plus élevées).

• Remplacez chaque fraction par une fraction équivalente : multipliez son numérateur et son dénominateur par le nombre correspondant, calculé à l'étape 2 ci-dessus. De cette façon, toutes les fractions auront des dénominateurs égaux (le même dénominateur).
• Maintenez ensuite le dénominateur commun et faites les calculs uniquement avec les numérateurs des fractions.

• La décomposition en facteurs premiers des deux nombres :
• 3.174.314.680.637.467 = 3.181 × 997.898.359.207
• 2.206.583.842.991.220 = 2² × 3² × 5 × 7 × 11 × 19 × 23 × 29 × 107 × 113 × 1.039
• PGCD (3.181 × 997.898.359.207; 2² × 3² × 5 × 7 × 11 × 19 × 23 × 29 × 107 × 113 × 1.039) = 1

• Un nombre fractionnaire : un nombre entier et une fraction propre, tous deux de même signe.
• Une fraction propre : la valeur du numérateur est inférieure à la valeur du dénominateur.
• Divisez le numérateur par le dénominateur et notez le quotient et le reste de la division, comme indiqué ci-dessous :

Divisez simplement le numérateur par le dénominateur, sans reste, comme indiqué ci-dessous :

• Une valeur en pourcentage p% est égale à la fraction : ^p/₁₀₀, pour tout nombre décimal p. Donc, nous devons changer la forme du nombre obtenu ci-dessus, pour avoir un dénominateur de 100.
• Pour ce faire, multipliez le nombre par la fraction ¹⁰⁰/₁₀₀.
• La valeur de la fraction ¹⁰⁰/₁₀₀ = 1, donc en multipliant le nombre par cette fraction, le résultat ne change pas, seulement la forme.

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