^1.996/_3.202 - ^2.007/_3.200 - ^2.010/_3.120 - ^2.015/_3.178 + ^2.031/_3.213 - ^2.090/_3.222 = ? Additionner des fractions, calculatrice en ligne. Opération d'addition expliquée étape par étape

• Pour simplifier une fraction à la forme équivalente la plus simple : divisez le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur, PGCD.
• * Pourquoi essaie-t-on de simplifier les fractions ?
• En réduisant les valeurs des numérateurs et des dénominateurs des fractions, les calculs sont plus faciles à effectuer.
• Une fraction simplifiée à la forme équivalente la plus simple est une fraction avec le plus petit numérateur et dénominateur possible, une fraction qui ne peut plus être simplifiée.

• La décomposition en facteurs premiers du numérateur et du dénominateur :
• 1.996 = 2² × 499
• 3.202 = 2 × 1.601
• Multipliez tous les facteurs premiers communs : s'il y a des facteurs premiers communs répétitifs, nous ne les prenons qu'une seule fois, et seulement ceux qui ont le plus petit exposant (les plus petites puissances).
• PGCD (1.996; 3.202) = 2

• Une autre méthode pour simplifier la fraction :

• Sans calculer le PGCD, décomposer le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers et éliminer tous les facteurs communs.

• ^1.996/_3.202 = ^{(22 × 499)}/_{(2 × 1.601)} = ^{((22 × 499) : 2)}/_{((2 × 1.601) : 2)} = ⁹⁹⁸/_1.601

• Le numérateur et le dénominateur n'ont pas de facteurs premiers communs.
• La décomposition en facteurs premiers des deux nombres :
2.007 = 3² × 223
• 3.200 = 2⁷ × 5²
• PGCD (3² × 223; 2⁷ × 5²) = 1

• 2.010 = 2 × 3 × 5 × 67
• 3.120 = 2⁴ × 3 × 5 × 13
• PGCD (2.010; 3.120) = 2 × 3 × 5 = 30

• Nous aurions pu simplifier la fraction sans calculer le PGCD. Il suffit de décomposer le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers et d'éliminer les facteurs communs.

• - ^2.010/_3.120 = - ^{(2 × 3 × 5 × 67)}/_{(2⁴ × 3 × 5 × 13)} = - ^{((2 × 3 × 5 × 67) : (2 × 3 × 5))}/_{((2⁴ × 3 × 5 × 13) : (2 × 3 × 5))} = - ⁶⁷/₁₀₄

• Le numérateur et le dénominateur n'ont pas de facteurs premiers communs.
• La décomposition en facteurs premiers des deux nombres :
2.015 = 5 × 13 × 31
• 3.178 = 2 × 7 × 227
• PGCD (5 × 13 × 31; 2 × 7 × 227) = 1

• 2.031 = 3 × 677
• 3.213 = 3³ × 7 × 17
• PGCD (2.031; 3.213) = 3

• Nous aurions pu simplifier la fraction sans calculer le PGCD. Il suffit de décomposer le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers et d'éliminer les facteurs communs.

• ^2.031/_3.213 = ^{(3 × 677)}/_{(3³ × 7 × 17)} = ^{((3 × 677) : 3)}/_{((3³ × 7 × 17) : 3)} = ⁶⁷⁷/_1.071

• 2.090 = 2 × 5 × 11 × 19
• 3.222 = 2 × 3² × 179
• PGCD (2.090; 3.222) = 2

• Nous aurions pu simplifier la fraction sans calculer le PGCD. Il suffit de décomposer le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers et d'éliminer les facteurs communs.

• - ^2.090/_3.222 = - ^{(2 × 5 × 11 × 19)}/_{(2 × 3² × 179)} = - ^{((2 × 5 × 11 × 19) : 2)}/_{((2 × 3² × 179) : 2)} = - ^1.045/_1.611

• Pour calculer l'opération des fractions, nous devons :
• 1) trouver leur dénominateur commun (le même dénominateur)
• 2) puis calculer les nombres par lesquels chaque dénominateur est multiplié, afin d'avoir tous les dénominateurs des fractions égaux (au même dénominateur)
• 3) puis réduire les fractions au même dénominateur, en les transformant en formes équivalentes, qui ont toutes le même dénominateur

• * Le même dénominateur n'est rien d'autre que le plus petit commun multiple (PPCM) des dénominateurs des fractions.
• Le PPCM sera le même dénominateur des fractions avec lesquelles nous travaillons.

Multipliez tous les facteurs premiers uniques : s'il y a des facteurs premiers répétitifs, nous ne les prenons qu'une seule fois, et seulement ceux qui ont le plus grand exposant (les puissances les plus élevées).

• Remplacez chaque fraction par une fraction équivalente : multipliez son numérateur et son dénominateur par le nombre correspondant, calculé à l'étape 2 ci-dessus. De cette façon, toutes les fractions auront des dénominateurs égaux (le même dénominateur).
• Maintenez ensuite le dénominateur commun et faites les calculs uniquement avec les numérateurs des fractions.

• La décomposition en facteurs premiers des deux nombres :
• 3.763.962.245.536.013 = 907 × 2.677 × 1.550.206.667
• 2.898.364.632.508.800 = 2⁷ × 3² × 5² × 7 × 13 × 17 × 179 × 227 × 1.601
• PGCD (907 × 2.677 × 1.550.206.667; 2⁷ × 3² × 5² × 7 × 13 × 17 × 179 × 227 × 1.601) = 1

• Un nombre fractionnaire : un nombre entier et une fraction propre, tous deux de même signe.
• Une fraction propre : la valeur du numérateur est inférieure à la valeur du dénominateur.
• Divisez le numérateur par le dénominateur et notez le quotient et le reste de la division, comme indiqué ci-dessous :

Divisez simplement le numérateur par le dénominateur, sans reste, comme indiqué ci-dessous :

• Une valeur en pourcentage p% est égale à la fraction : ^p/₁₀₀, pour tout nombre décimal p. Donc, nous devons changer la forme du nombre obtenu ci-dessus, pour avoir un dénominateur de 100.
• Pour ce faire, multipliez le nombre par la fraction ¹⁰⁰/₁₀₀.
• La valeur de la fraction ¹⁰⁰/₁₀₀ = 1, donc en multipliant le nombre par cette fraction, le résultat ne change pas, seulement la forme.

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