^1.115/₆₆₄ + ⁶⁵⁸/_1.029 - ⁶⁹⁶/_1.056 + ⁶⁹⁴/_1.081 + ⁶⁶⁵/_7.310 - ^1.072/₆₆₇ - ⁶⁷⁷/_1.105 + ⁶⁹⁸/₃₅ = ? Additionner des fractions, calculatrice en ligne. Opération d'addition expliquée étape par étape

• Pour simplifier une fraction à la forme équivalente la plus simple : divisez le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur, PGCD.
• * Pourquoi essaie-t-on de simplifier les fractions ?
• En réduisant les valeurs des numérateurs et des dénominateurs des fractions, les calculs sont plus faciles à effectuer.
• Une fraction simplifiée à la forme équivalente la plus simple est une fraction avec le plus petit numérateur et dénominateur possible, une fraction qui ne peut plus être simplifiée.

• Le numérateur et le dénominateur n'ont pas de facteurs premiers communs.
• La décomposition en facteurs premiers des deux nombres :
1.115 = 5 × 223
• 664 = 2³ × 83
• PGCD (5 × 223; 2³ × 83) = 1

• La décomposition en facteurs premiers du numérateur et du dénominateur :
• 658 = 2 × 7 × 47
• 1.029 = 3 × 7³
• Multipliez tous les facteurs premiers communs : s'il y a des facteurs premiers communs répétitifs, nous ne les prenons qu'une seule fois, et seulement ceux qui ont le plus petit exposant (les plus petites puissances).
• PGCD (658; 1.029) = 7

• Une autre méthode pour simplifier la fraction :

• Sans calculer le PGCD, décomposer le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers et éliminer tous les facteurs communs.

• ⁶⁵⁸/_1.029 = ^{(2 × 7 × 47)}/_{(3 × 7³)} = ^{((2 × 7 × 47) : 7)}/_{((3 × 7³) : 7)} = ⁹⁴/₁₄₇

• 696 = 2³ × 3 × 29
• 1.056 = 2⁵ × 3 × 11
• PGCD (696; 1.056) = 2³ × 3 = 24

• Nous aurions pu simplifier la fraction sans calculer le PGCD. Il suffit de décomposer le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers et d'éliminer les facteurs communs.

• - ⁶⁹⁶/_1.056 = - ^{(23 × 3 × 29)}/_{(2⁵ × 3 × 11)} = - ^{((23 × 3 × 29) : (23 × 3))}/_{((2⁵ × 3 × 11) : (2³ × 3))} = - ²⁹/₄₄

• Le numérateur et le dénominateur n'ont pas de facteurs premiers communs.
• La décomposition en facteurs premiers des deux nombres :
694 = 2 × 347
• 1.081 = 23 × 47
• PGCD (2 × 347; 23 × 47) = 1

• 665 = 5 × 7 × 19
• 7.310 = 2 × 5 × 17 × 43
• PGCD (665; 7.310) = 5

• Nous aurions pu simplifier la fraction sans calculer le PGCD. Il suffit de décomposer le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers et d'éliminer les facteurs communs.

• ⁶⁶⁵/_7.310 = ^{(5 × 7 × 19)}/_{(2 × 5 × 17 × 43)} = ^{((5 × 7 × 19) : 5)}/_{((2 × 5 × 17 × 43) : 5)} = ¹³³/_1.462

• Le numérateur et le dénominateur n'ont pas de facteurs premiers communs.
• La décomposition en facteurs premiers des deux nombres :
1.072 = 2⁴ × 67
• 667 = 23 × 29
• PGCD (2⁴ × 67; 23 × 29) = 1

• Le numérateur et le dénominateur n'ont pas de facteurs premiers communs.
• La décomposition en facteurs premiers des deux nombres :
677 est un nombre premier
• 1.105 = 5 × 13 × 17
• PGCD (677; 5 × 13 × 17) = 1

• Le numérateur et le dénominateur n'ont pas de facteurs premiers communs.
• La décomposition en facteurs premiers des deux nombres :
698 = 2 × 349
• 35 = 5 × 7
• PGCD (2 × 349; 5 × 7) = 1

• Une fraction impropre : la valeur du numérateur est supérieure ou égale à la valeur du dénominateur.
• Une fraction propre : la valeur du numérateur est inférieure à la valeur du dénominateur.
• Chaque fraction impropre sera réécrite comme un nombre entier et une fraction propre, les deux ayant le même signe : divisez le numérateur par le dénominateur et notez le quotient et le reste de la division, comme indiqué ci-dessous.
• Pourquoi réécrivons-nous les fractions impropres ?
• En réduisant la valeur du numérateur d'une fraction, les calculs avec cette fraction deviennent plus faciles à effectuer.

• Pour calculer l'opération des fractions, nous devons :
• 1) trouver leur dénominateur commun (le même dénominateur)
• 2) puis calculer les nombres par lesquels chaque dénominateur est multiplié, afin d'avoir tous les dénominateurs des fractions égaux (au même dénominateur)
• 3) puis réduire les fractions au même dénominateur, en les transformant en formes équivalentes, qui ont toutes le même dénominateur

• * Le même dénominateur n'est rien d'autre que le plus petit commun multiple (PPCM) des dénominateurs des fractions.
• Le PPCM sera le même dénominateur des fractions avec lesquelles nous travaillons.

Multipliez tous les facteurs premiers uniques : s'il y a des facteurs premiers répétitifs, nous ne les prenons qu'une seule fois, et seulement ceux qui ont le plus grand exposant (les puissances les plus élevées).

• Remplacez chaque fraction par une fraction équivalente : multipliez son numérateur et son dénominateur par le nombre correspondant, calculé à l'étape 2 ci-dessus. De cette façon, toutes les fractions auront des dénominateurs égaux (le même dénominateur).
• Maintenez ensuite le dénominateur commun et faites les calculs uniquement avec les numérateurs des fractions.

• La décomposition en facteurs premiers des deux nombres :
• 1.784.097.302.818.867 = 59 × 88.259 × 342.615.907
• 1.599.309.528.496.680 = 2³ × 3 × 5 × 7² × 11 × 13 × 17 × 23 × 29 × 43 × 47 × 83
• PGCD (59 × 88.259 × 342.615.907; 2³ × 3 × 5 × 7² × 11 × 13 × 17 × 23 × 29 × 43 × 47 × 83) = 1

• Une fraction impropre : la valeur du numérateur est supérieure ou égale à la valeur du dénominateur.

• Un nombre fractionnaire : un nombre entier et une fraction propre, tous deux de même signe.
• Une fraction propre : la valeur du numérateur est inférieure à la valeur du dénominateur.
• Divisez le numérateur par le dénominateur et notez le quotient et le reste de la division, comme indiqué ci-dessous :

Divisez simplement le numérateur par le dénominateur, sans reste, comme indiqué ci-dessous :

• Une valeur en pourcentage p% est égale à la fraction : ^p/₁₀₀, pour tout nombre décimal p. Donc, nous devons changer la forme du nombre obtenu ci-dessus, pour avoir un dénominateur de 100.
• Pour ce faire, multipliez le nombre par la fraction ¹⁰⁰/₁₀₀.
• La valeur de la fraction ¹⁰⁰/₁₀₀ = 1, donc en multipliant le nombre par cette fraction, le résultat ne change pas, seulement la forme.

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