^1.111/₆₅₆ + ⁶⁴⁵/_1.032 - ⁷⁰⁸/_1.056 + ⁷⁰²/_1.084 + ⁶⁶¹/_7.317 + ^1.068/₆₇₂ + ⁶⁸¹/_1.100 - ⁶⁹⁸/₂₀ = ? Additionner des fractions, calculatrice en ligne. Opération d'addition expliquée étape par étape

• Pour simplifier une fraction à la forme équivalente la plus simple : divisez le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur, PGCD.
• * Pourquoi essaie-t-on de simplifier les fractions ?
• En réduisant les valeurs des numérateurs et des dénominateurs des fractions, les calculs sont plus faciles à effectuer.
• Une fraction simplifiée à la forme équivalente la plus simple est une fraction avec le plus petit numérateur et dénominateur possible, une fraction qui ne peut plus être simplifiée.

• Le numérateur et le dénominateur n'ont pas de facteurs premiers communs.
• La décomposition en facteurs premiers des deux nombres :
1.111 = 11 × 101
• 656 = 2⁴ × 41
• PGCD (11 × 101; 2⁴ × 41) = 1

• La décomposition en facteurs premiers du numérateur et du dénominateur :
• 645 = 3 × 5 × 43
• 1.032 = 2³ × 3 × 43
• Multipliez tous les facteurs premiers communs : s'il y a des facteurs premiers communs répétitifs, nous ne les prenons qu'une seule fois, et seulement ceux qui ont le plus petit exposant (les plus petites puissances).
• PGCD (645; 1.032) = 3 × 43 = 129

• Une autre méthode pour simplifier la fraction :

• Sans calculer le PGCD, décomposer le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers et éliminer tous les facteurs communs.

• ⁶⁴⁵/_1.032 = ^{(3 × 5 × 43)}/_{(2³ × 3 × 43)} = ^{((3 × 5 × 43) : (3 × 43))}/_{((2³ × 3 × 43) : (3 × 43))} = ⁵/₈

• 708 = 2² × 3 × 59
• 1.056 = 2⁵ × 3 × 11
• PGCD (708; 1.056) = 2² × 3 = 12

• Nous aurions pu simplifier la fraction sans calculer le PGCD. Il suffit de décomposer le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers et d'éliminer les facteurs communs.

• - ⁷⁰⁸/_1.056 = - ^{(22 × 3 × 59)}/_{(2⁵ × 3 × 11)} = - ^{((22 × 3 × 59) : (22 × 3))}/_{((2⁵ × 3 × 11) : (2² × 3))} = - ⁵⁹/₈₈

• 702 = 2 × 3³ × 13
• 1.084 = 2² × 271
• PGCD (702; 1.084) = 2

• Nous aurions pu simplifier la fraction sans calculer le PGCD. Il suffit de décomposer le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers et d'éliminer les facteurs communs.

• ⁷⁰²/_1.084 = ^{(2 × 33 × 13)}/_{(2² × 271)} = ^{((2 × 33 × 13) : 2)}/_{((2² × 271) : 2)} = ³⁵¹/₅₄₂

• Le numérateur et le dénominateur n'ont pas de facteurs premiers communs.
• La décomposition en facteurs premiers des deux nombres :
661 est un nombre premier
• 7.317 = 3³ × 271
• PGCD (661; 3³ × 271) = 1

• 1.068 = 2² × 3 × 89
• 672 = 2⁵ × 3 × 7
• PGCD (1.068; 672) = 2² × 3 = 12

• Nous aurions pu simplifier la fraction sans calculer le PGCD. Il suffit de décomposer le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers et d'éliminer les facteurs communs.

• ^1.068/₆₇₂ = ^{(22 × 3 × 89)}/_{(2⁵ × 3 × 7)} = ^{((22 × 3 × 89) : (22 × 3))}/_{((2⁵ × 3 × 7) : (2² × 3))} = ⁸⁹/₅₆

• Le numérateur et le dénominateur n'ont pas de facteurs premiers communs.
• La décomposition en facteurs premiers des deux nombres :
681 = 3 × 227
• 1.100 = 2² × 5² × 11
• PGCD (3 × 227; 2² × 5² × 11) = 1

• 698 = 2 × 349
• 20 = 2² × 5
• PGCD (698; 20) = 2

• Nous aurions pu simplifier la fraction sans calculer le PGCD. Il suffit de décomposer le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers et d'éliminer les facteurs communs.

• - ⁶⁹⁸/₂₀ = - ^{(2 × 349)}/_{(2² × 5)} = - ^{((2 × 349) : 2)}/_{((2² × 5) : 2)} = - ³⁴⁹/₁₀

• Une fraction impropre : la valeur du numérateur est supérieure ou égale à la valeur du dénominateur.
• Une fraction propre : la valeur du numérateur est inférieure à la valeur du dénominateur.
• Chaque fraction impropre sera réécrite comme un nombre entier et une fraction propre, les deux ayant le même signe : divisez le numérateur par le dénominateur et notez le quotient et le reste de la division, comme indiqué ci-dessous.
• Pourquoi réécrivons-nous les fractions impropres ?
• En réduisant la valeur du numérateur d'une fraction, les calculs avec cette fraction deviennent plus faciles à effectuer.

• Pour calculer l'opération des fractions, nous devons :
• 1) trouver leur dénominateur commun (le même dénominateur)
• 2) puis calculer les nombres par lesquels chaque dénominateur est multiplié, afin d'avoir tous les dénominateurs des fractions égaux (au même dénominateur)
• 3) puis réduire les fractions au même dénominateur, en les transformant en formes équivalentes, qui ont toutes le même dénominateur

• * Le même dénominateur n'est rien d'autre que le plus petit commun multiple (PPCM) des dénominateurs des fractions.
• Le PPCM sera le même dénominateur des fractions avec lesquelles nous travaillons.

Multipliez tous les facteurs premiers uniques : s'il y a des facteurs premiers répétitifs, nous ne les prenons qu'une seule fois, et seulement ceux qui ont le plus grand exposant (les puissances les plus élevées).

• Remplacez chaque fraction par une fraction équivalente : multipliez son numérateur et son dénominateur par le nombre correspondant, calculé à l'étape 2 ci-dessus. De cette façon, toutes les fractions auront des dénominateurs égaux (le même dénominateur).
• Maintenez ensuite le dénominateur commun et faites les calculs uniquement avec les numérateurs des fractions.

• La décomposition en facteurs premiers des deux nombres :
• 15.656.641.681 = 4.003 × 3.911.227
• 9.239.907.600 = 2⁴ × 3³ × 5² × 7 × 11 × 41 × 271
• PGCD (4.003 × 3.911.227; 2⁴ × 3³ × 5² × 7 × 11 × 41 × 271) = 1

• Une fraction impropre : la valeur du numérateur est supérieure ou égale à la valeur du dénominateur.

• Un nombre fractionnaire : un nombre entier et une fraction propre, tous deux de même signe.
• Une fraction propre : la valeur du numérateur est inférieure à la valeur du dénominateur.
• Divisez le numérateur par le dénominateur et notez le quotient et le reste de la division, comme indiqué ci-dessous :

Divisez simplement le numérateur par le dénominateur, sans reste, comme indiqué ci-dessous :

• Une valeur en pourcentage p% est égale à la fraction : ^p/₁₀₀, pour tout nombre décimal p. Donc, nous devons changer la forme du nombre obtenu ci-dessus, pour avoir un dénominateur de 100.
• Pour ce faire, multipliez le nombre par la fraction ¹⁰⁰/₁₀₀.
• La valeur de la fraction ¹⁰⁰/₁₀₀ = 1, donc en multipliant le nombre par cette fraction, le résultat ne change pas, seulement la forme.

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