^1.111/₆₅₄ + ⁶⁴⁶/_1.008 + ⁶⁸³/_1.044 + ⁶⁸²/_1.071 - ⁶⁷¹/_7.302 - ^1.069/₆₆₀ + ⁶⁶⁶/_1.065 + ⁶⁹⁹/₁₅₀ = ? Additionner des fractions, calculatrice en ligne. Opération d'addition expliquée étape par étape

• Pour simplifier une fraction à la forme équivalente la plus simple : divisez le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur, PGCD.
• * Pourquoi essaie-t-on de simplifier les fractions ?
• En réduisant les valeurs des numérateurs et des dénominateurs des fractions, les calculs sont plus faciles à effectuer.
• Une fraction simplifiée à la forme équivalente la plus simple est une fraction avec le plus petit numérateur et dénominateur possible, une fraction qui ne peut plus être simplifiée.

• Le numérateur et le dénominateur n'ont pas de facteurs premiers communs.
• La décomposition en facteurs premiers des deux nombres :
1.111 = 11 × 101
• 654 = 2 × 3 × 109
• PGCD (11 × 101; 2 × 3 × 109) = 1

• La décomposition en facteurs premiers du numérateur et du dénominateur :
• 646 = 2 × 17 × 19
• 1.008 = 2⁴ × 3² × 7
• Multipliez tous les facteurs premiers communs : s'il y a des facteurs premiers communs répétitifs, nous ne les prenons qu'une seule fois, et seulement ceux qui ont le plus petit exposant (les plus petites puissances).
• PGCD (646; 1.008) = 2

• Une autre méthode pour simplifier la fraction :

• Sans calculer le PGCD, décomposer le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers et éliminer tous les facteurs communs.

• ⁶⁴⁶/_1.008 = ^{(2 × 17 × 19)}/_{(2⁴ × 3² × 7)} = ^{((2 × 17 × 19) : 2)}/_{((2⁴ × 3² × 7) : 2)} = ³²³/₅₀₄

• Le numérateur et le dénominateur n'ont pas de facteurs premiers communs.
• La décomposition en facteurs premiers des deux nombres :
683 est un nombre premier
• 1.044 = 2² × 3² × 29
• PGCD (683; 2² × 3² × 29) = 1

• Le numérateur et le dénominateur n'ont pas de facteurs premiers communs.
• La décomposition en facteurs premiers des deux nombres :
682 = 2 × 11 × 31
• 1.071 = 3² × 7 × 17
• PGCD (2 × 11 × 31; 3² × 7 × 17) = 1

• Le numérateur et le dénominateur n'ont pas de facteurs premiers communs.
• La décomposition en facteurs premiers des deux nombres :
671 = 11 × 61
• 7.302 = 2 × 3 × 1.217
• PGCD (11 × 61; 2 × 3 × 1.217) = 1

• Le numérateur et le dénominateur n'ont pas de facteurs premiers communs.
• La décomposition en facteurs premiers des deux nombres :
1.069 est un nombre premier
• 660 = 2² × 3 × 5 × 11
• PGCD (1.069; 2² × 3 × 5 × 11) = 1

• 666 = 2 × 3² × 37
• 1.065 = 3 × 5 × 71
• PGCD (666; 1.065) = 3

• Nous aurions pu simplifier la fraction sans calculer le PGCD. Il suffit de décomposer le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers et d'éliminer les facteurs communs.

• ⁶⁶⁶/_1.065 = ^{(2 × 32 × 37)}/_{(3 × 5 × 71)} = ^{((2 × 32 × 37) : 3)}/_{((3 × 5 × 71) : 3)} = ²²²/₃₅₅

• 699 = 3 × 233
• 150 = 2 × 3 × 5²
• PGCD (699; 150) = 3

• Nous aurions pu simplifier la fraction sans calculer le PGCD. Il suffit de décomposer le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers et d'éliminer les facteurs communs.

• ⁶⁹⁹/₁₅₀ = ^{(3 × 233)}/_{(2 × 3 × 5²)} = ^{((3 × 233) : 3)}/_{((2 × 3 × 5²) : 3)} = ²³³/₅₀

• Une fraction impropre : la valeur du numérateur est supérieure ou égale à la valeur du dénominateur.
• Une fraction propre : la valeur du numérateur est inférieure à la valeur du dénominateur.
• Chaque fraction impropre sera réécrite comme un nombre entier et une fraction propre, les deux ayant le même signe : divisez le numérateur par le dénominateur et notez le quotient et le reste de la division, comme indiqué ci-dessous.
• Pourquoi réécrivons-nous les fractions impropres ?
• En réduisant la valeur du numérateur d'une fraction, les calculs avec cette fraction deviennent plus faciles à effectuer.

• Pour calculer l'opération des fractions, nous devons :
• 1) trouver leur dénominateur commun (le même dénominateur)
• 2) puis calculer les nombres par lesquels chaque dénominateur est multiplié, afin d'avoir tous les dénominateurs des fractions égaux (au même dénominateur)
• 3) puis réduire les fractions au même dénominateur, en les transformant en formes équivalentes, qui ont toutes le même dénominateur

• * Le même dénominateur n'est rien d'autre que le plus petit commun multiple (PPCM) des dénominateurs des fractions.
• Le PPCM sera le même dénominateur des fractions avec lesquelles nous travaillons.

Multipliez tous les facteurs premiers uniques : s'il y a des facteurs premiers répétitifs, nous ne les prenons qu'une seule fois, et seulement ceux qui ont le plus grand exposant (les puissances les plus élevées).

• Remplacez chaque fraction par une fraction équivalente : multipliez son numérateur et son dénominateur par le nombre correspondant, calculé à l'étape 2 ci-dessus. De cette façon, toutes les fractions auront des dénominateurs égaux (le même dénominateur).
• Maintenez ensuite le dénominateur commun et faites les calculs uniquement avec les numérateurs des fractions.

• La décomposition en facteurs premiers des deux nombres :
• 2.062.216.778.252.359 = 1.427 × 1.445.141.400.317
• 643.554.860.117.400 = 2³ × 3² × 5² × 7 × 11 × 17 × 29 × 71 × 109 × 1.217
• PGCD (1.427 × 1.445.141.400.317; 2³ × 3² × 5² × 7 × 11 × 17 × 29 × 71 × 109 × 1.217) = 1

• Une fraction impropre : la valeur du numérateur est supérieure ou égale à la valeur du dénominateur.

• Un nombre fractionnaire : un nombre entier et une fraction propre, tous deux de même signe.
• Une fraction propre : la valeur du numérateur est inférieure à la valeur du dénominateur.
• Divisez le numérateur par le dénominateur et notez le quotient et le reste de la division, comme indiqué ci-dessous :

Divisez simplement le numérateur par le dénominateur, sans reste, comme indiqué ci-dessous :

• Une valeur en pourcentage p% est égale à la fraction : ^p/₁₀₀, pour tout nombre décimal p. Donc, nous devons changer la forme du nombre obtenu ci-dessus, pour avoir un dénominateur de 100.
• Pour ce faire, multipliez le nombre par la fraction ¹⁰⁰/₁₀₀.
• La valeur de la fraction ¹⁰⁰/₁₀₀ = 1, donc en multipliant le nombre par cette fraction, le résultat ne change pas, seulement la forme.

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