^1.085/₆₃₆ - ⁶⁴⁰/_1.007 - ⁶⁶²/_1.024 + ⁶⁴⁵/_1.040 - ⁶⁵¹/_7.280 + ^1.036/₆₅₉ + ⁶⁵³/_1.054 + ⁶⁷²/₁₁₃ = ? Additionner des fractions, calculatrice en ligne. Opération d'addition expliquée étape par étape

• Pour simplifier une fraction à la forme équivalente la plus simple : divisez le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur, PGCD.
• * Pourquoi essaie-t-on de simplifier les fractions ?
• En réduisant les valeurs des numérateurs et des dénominateurs des fractions, les calculs sont plus faciles à effectuer.
• Une fraction simplifiée à la forme équivalente la plus simple est une fraction avec le plus petit numérateur et dénominateur possible, une fraction qui ne peut plus être simplifiée.

• Le numérateur et le dénominateur n'ont pas de facteurs premiers communs.
• La décomposition en facteurs premiers des deux nombres :
1.085 = 5 × 7 × 31
• 636 = 2² × 3 × 53
• PGCD (5 × 7 × 31; 2² × 3 × 53) = 1

• Le numérateur et le dénominateur n'ont pas de facteurs premiers communs.
• La décomposition en facteurs premiers des deux nombres :
640 = 2⁷ × 5
• 1.007 = 19 × 53
• PGCD (2⁷ × 5; 19 × 53) = 1

• La décomposition en facteurs premiers du numérateur et du dénominateur :
• 662 = 2 × 331
• 1.024 = 2¹⁰
• Multipliez tous les facteurs premiers communs : s'il y a des facteurs premiers communs répétitifs, nous ne les prenons qu'une seule fois, et seulement ceux qui ont le plus petit exposant (les plus petites puissances).
• PGCD (662; 1.024) = 2

• Une autre méthode pour simplifier la fraction :

• Sans calculer le PGCD, décomposer le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers et éliminer tous les facteurs communs.

• - ⁶⁶²/_1.024 = - ^{(2 × 331)}/_2¹⁰ = - ^{((2 × 331) : 2)}/_{(2¹⁰ : 2)} = - ³³¹/₅₁₂

• 645 = 3 × 5 × 43
• 1.040 = 2⁴ × 5 × 13
• PGCD (645; 1.040) = 5

• Nous aurions pu simplifier la fraction sans calculer le PGCD. Il suffit de décomposer le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers et d'éliminer les facteurs communs.

• ⁶⁴⁵/_1.040 = ^{(3 × 5 × 43)}/_{(2⁴ × 5 × 13)} = ^{((3 × 5 × 43) : 5)}/_{((2⁴ × 5 × 13) : 5)} = ¹²⁹/₂₀₈

• 651 = 3 × 7 × 31
• 7.280 = 2⁴ × 5 × 7 × 13
• PGCD (651; 7.280) = 7

• Nous aurions pu simplifier la fraction sans calculer le PGCD. Il suffit de décomposer le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers et d'éliminer les facteurs communs.

• - ⁶⁵¹/_7.280 = - ^{(3 × 7 × 31)}/_{(2⁴ × 5 × 7 × 13)} = - ^{((3 × 7 × 31) : 7)}/_{((2⁴ × 5 × 7 × 13) : 7)} = - ⁹³/_1.040

• Le numérateur et le dénominateur n'ont pas de facteurs premiers communs.
• La décomposition en facteurs premiers des deux nombres :
1.036 = 2² × 7 × 37
• 659 est un nombre premier
• PGCD (2² × 7 × 37; 659) = 1

• Le numérateur et le dénominateur n'ont pas de facteurs premiers communs.
• La décomposition en facteurs premiers des deux nombres :
653 est un nombre premier
• 1.054 = 2 × 17 × 31
• PGCD (653; 2 × 17 × 31) = 1

• Le numérateur et le dénominateur n'ont pas de facteurs premiers communs.
• La décomposition en facteurs premiers des deux nombres :
672 = 2⁵ × 3 × 7
• 113 est un nombre premier
• PGCD (2⁵ × 3 × 7; 113) = 1

• Une fraction impropre : la valeur du numérateur est supérieure ou égale à la valeur du dénominateur.
• Une fraction propre : la valeur du numérateur est inférieure à la valeur du dénominateur.
• Chaque fraction impropre sera réécrite comme un nombre entier et une fraction propre, les deux ayant le même signe : divisez le numérateur par le dénominateur et notez le quotient et le reste de la division, comme indiqué ci-dessous.
• Pourquoi réécrivons-nous les fractions impropres ?
• En réduisant la valeur du numérateur d'une fraction, les calculs avec cette fraction deviennent plus faciles à effectuer.

• Pour calculer l'opération des fractions, nous devons :
• 1) trouver leur dénominateur commun (le même dénominateur)
• 2) puis calculer les nombres par lesquels chaque dénominateur est multiplié, afin d'avoir tous les dénominateurs des fractions égaux (au même dénominateur)
• 3) puis réduire les fractions au même dénominateur, en les transformant en formes équivalentes, qui ont toutes le même dénominateur

• * Le même dénominateur n'est rien d'autre que le plus petit commun multiple (PPCM) des dénominateurs des fractions.
• Le PPCM sera le même dénominateur des fractions avec lesquelles nous travaillons.

Multipliez tous les facteurs premiers uniques : s'il y a des facteurs premiers répétitifs, nous ne les prenons qu'une seule fois, et seulement ceux qui ont le plus grand exposant (les puissances les plus élevées).

• Remplacez chaque fraction par une fraction équivalente : multipliez son numérateur et son dénominateur par le nombre correspondant, calculé à l'étape 2 ci-dessus. De cette façon, toutes les fractions auront des dénominateurs égaux (le même dénominateur).
• Maintenez ensuite le dénominateur commun et faites les calculs uniquement avec les numérateurs des fractions.

• La décomposition en facteurs premiers des deux nombres :
• 8.258.980.561.609.021 = 211 × 115.183 × 339.825.217
• 3.945.558.765.457.920 = 2⁹ × 3 × 5 × 13 × 17 × 19 × 31 × 53 × 113 × 659
• PGCD (211 × 115.183 × 339.825.217; 2⁹ × 3 × 5 × 13 × 17 × 19 × 31 × 53 × 113 × 659) = 1

• Une fraction impropre : la valeur du numérateur est supérieure ou égale à la valeur du dénominateur.

• Un nombre fractionnaire : un nombre entier et une fraction propre, tous deux de même signe.
• Une fraction propre : la valeur du numérateur est inférieure à la valeur du dénominateur.
• Divisez le numérateur par le dénominateur et notez le quotient et le reste de la division, comme indiqué ci-dessous :

Divisez simplement le numérateur par le dénominateur, sans reste, comme indiqué ci-dessous :

• Une valeur en pourcentage p% est égale à la fraction : ^p/₁₀₀, pour tout nombre décimal p. Donc, nous devons changer la forme du nombre obtenu ci-dessus, pour avoir un dénominateur de 100.
• Pour ce faire, multipliez le nombre par la fraction ¹⁰⁰/₁₀₀.
• La valeur de la fraction ¹⁰⁰/₁₀₀ = 1, donc en multipliant le nombre par cette fraction, le résultat ne change pas, seulement la forme.

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