- ^2.174/_1.372 - ^1.307/_2.120 + ^1.383/_2.115 - ^1.450/_2.149 - ^1.311/_8.358 - ^2.164/_1.352 - ^1.376/_2.236 = ? Additionner des fractions, calculatrice en ligne. Opération d'addition expliquée étape par étape

• Pour simplifier une fraction à la forme équivalente la plus simple : divisez le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur, PGCD.
• * Pourquoi essaie-t-on de simplifier les fractions ?
• En réduisant les valeurs des numérateurs et des dénominateurs des fractions, les calculs sont plus faciles à effectuer.
• Une fraction simplifiée à la forme équivalente la plus simple est une fraction avec le plus petit numérateur et dénominateur possible, une fraction qui ne peut plus être simplifiée.

• La décomposition en facteurs premiers du numérateur et du dénominateur :
• 2.174 = 2 × 1.087
• 1.372 = 2² × 7³
• Multipliez tous les facteurs premiers communs : s'il y a des facteurs premiers communs répétitifs, nous ne les prenons qu'une seule fois, et seulement ceux qui ont le plus petit exposant (les plus petites puissances).
• PGCD (2.174; 1.372) = 2

• Une autre méthode pour simplifier la fraction :

• Sans calculer le PGCD, décomposer le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers et éliminer tous les facteurs communs.

• - ^2.174/_1.372 = - ^{(2 × 1.087)}/_{(2² × 7³)} = - ^{((2 × 1.087) : 2)}/_{((2² × 7³) : 2)} = - ^1.087/₆₈₆

• Le numérateur et le dénominateur n'ont pas de facteurs premiers communs.
• La décomposition en facteurs premiers des deux nombres :
1.307 est un nombre premier
• 2.120 = 2³ × 5 × 53
• PGCD (1.307; 2³ × 5 × 53) = 1

• 1.383 = 3 × 461
• 2.115 = 3² × 5 × 47
• PGCD (1.383; 2.115) = 3

• Nous aurions pu simplifier la fraction sans calculer le PGCD. Il suffit de décomposer le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers et d'éliminer les facteurs communs.

• ^1.383/_2.115 = ^{(3 × 461)}/_{(3² × 5 × 47)} = ^{((3 × 461) : 3)}/_{((3² × 5 × 47) : 3)} = ⁴⁶¹/₇₀₅

• Le numérateur et le dénominateur n'ont pas de facteurs premiers communs.
• La décomposition en facteurs premiers des deux nombres :
1.450 = 2 × 5² × 29
• 2.149 = 7 × 307
• PGCD (2 × 5² × 29; 7 × 307) = 1

• 1.311 = 3 × 19 × 23
• 8.358 = 2 × 3 × 7 × 199
• PGCD (1.311; 8.358) = 3

• Nous aurions pu simplifier la fraction sans calculer le PGCD. Il suffit de décomposer le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers et d'éliminer les facteurs communs.

• - ^1.311/_8.358 = - ^{(3 × 19 × 23)}/_{(2 × 3 × 7 × 199)} = - ^{((3 × 19 × 23) : 3)}/_{((2 × 3 × 7 × 199) : 3)} = - ⁴³⁷/_2.786

• 2.164 = 2² × 541
• 1.352 = 2³ × 13²
• PGCD (2.164; 1.352) = 2² = 4

• Nous aurions pu simplifier la fraction sans calculer le PGCD. Il suffit de décomposer le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers et d'éliminer les facteurs communs.

• - ^2.164/_1.352 = - ^{(22 × 541)}/_{(2³ × 13²)} = - ^{((22 × 541) : 22 )}/_{((2³ × 13²) : 2² )} = - ⁵⁴¹/₃₃₈

• 1.376 = 2⁵ × 43
• 2.236 = 2² × 13 × 43
• PGCD (1.376; 2.236) = 2² × 43 = 172

• Nous aurions pu simplifier la fraction sans calculer le PGCD. Il suffit de décomposer le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers et d'éliminer les facteurs communs.

• - ^1.376/_2.236 = - ^{(25 × 43)}/_{(2² × 13 × 43)} = - ^{((25 × 43) : (22 × 43))}/_{((2² × 13 × 43) : (2² × 43))} = - ⁸/₁₃

• Une fraction impropre : la valeur du numérateur est supérieure ou égale à la valeur du dénominateur.
• Une fraction propre : la valeur du numérateur est inférieure à la valeur du dénominateur.
• Chaque fraction impropre sera réécrite comme un nombre entier et une fraction propre, les deux ayant le même signe : divisez le numérateur par le dénominateur et notez le quotient et le reste de la division, comme indiqué ci-dessous.
• Pourquoi réécrivons-nous les fractions impropres ?
• En réduisant la valeur du numérateur d'une fraction, les calculs avec cette fraction deviennent plus faciles à effectuer.

• Pour calculer l'opération des fractions, nous devons :
• 1) trouver leur dénominateur commun (le même dénominateur)
• 2) puis calculer les nombres par lesquels chaque dénominateur est multiplié, afin d'avoir tous les dénominateurs des fractions égaux (au même dénominateur)
• 3) puis réduire les fractions au même dénominateur, en les transformant en formes équivalentes, qui ont toutes le même dénominateur

• * Le même dénominateur n'est rien d'autre que le plus petit commun multiple (PPCM) des dénominateurs des fractions.
• Le PPCM sera le même dénominateur des fractions avec lesquelles nous travaillons.

Multipliez tous les facteurs premiers uniques : s'il y a des facteurs premiers répétitifs, nous ne les prenons qu'une seule fois, et seulement ceux qui ont le plus grand exposant (les puissances les plus élevées).

• Remplacez chaque fraction par une fraction équivalente : multipliez son numérateur et son dénominateur par le nombre correspondant, calculé à l'étape 2 ci-dessus. De cette façon, toutes les fractions auront des dénominateurs égaux (le même dénominateur).
• Maintenez ensuite le dénominateur commun et faites les calculs uniquement avec les numérateurs des fractions.

• La décomposition en facteurs premiers des deux nombres :
• 2.746.742.626.791.313 = 16.519 × 166.277.778.727
• 1.058.588.691.134.520 = 2³ × 3 × 5 × 7³ × 13² × 47 × 53 × 199 × 307
• PGCD (16.519 × 166.277.778.727; 2³ × 3 × 5 × 7³ × 13² × 47 × 53 × 199 × 307) = 1

• Une fraction impropre : la valeur du numérateur est supérieure ou égale à la valeur du dénominateur.

• Un nombre fractionnaire : un nombre entier et une fraction propre, tous deux de même signe.
• Une fraction propre : la valeur du numérateur est inférieure à la valeur du dénominateur.
• Divisez le numérateur par le dénominateur et notez le quotient et le reste de la division, comme indiqué ci-dessous :

Divisez simplement le numérateur par le dénominateur, sans reste, comme indiqué ci-dessous :

• Une valeur en pourcentage p% est égale à la fraction : ^p/₁₀₀, pour tout nombre décimal p. Donc, nous devons changer la forme du nombre obtenu ci-dessus, pour avoir un dénominateur de 100.
• Pour ce faire, multipliez le nombre par la fraction ¹⁰⁰/₁₀₀.
• La valeur de la fraction ¹⁰⁰/₁₀₀ = 1, donc en multipliant le nombre par cette fraction, le résultat ne change pas, seulement la forme.

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