- ^2.125/_1.320 + ^1.283/_2.070 + ^1.405/_2.045 + ^1.402/_2.107 - ^1.285/_8.316 + ^2.092/_1.332 + ^1.320/_2.160 = ? Additionner des fractions, calculatrice en ligne. Opération d'addition expliquée étape par étape

• Pour simplifier une fraction à la forme équivalente la plus simple : divisez le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur, PGCD.
• * Pourquoi essaie-t-on de simplifier les fractions ?
• En réduisant les valeurs des numérateurs et des dénominateurs des fractions, les calculs sont plus faciles à effectuer.
• Une fraction simplifiée à la forme équivalente la plus simple est une fraction avec le plus petit numérateur et dénominateur possible, une fraction qui ne peut plus être simplifiée.

• La décomposition en facteurs premiers du numérateur et du dénominateur :
• 2.125 = 5³ × 17
• 1.320 = 2³ × 3 × 5 × 11
• Multipliez tous les facteurs premiers communs : s'il y a des facteurs premiers communs répétitifs, nous ne les prenons qu'une seule fois, et seulement ceux qui ont le plus petit exposant (les plus petites puissances).
• PGCD (2.125; 1.320) = 5

• Une autre méthode pour simplifier la fraction :

• Sans calculer le PGCD, décomposer le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers et éliminer tous les facteurs communs.

• - ^2.125/_1.320 = - ^{(53 × 17)}/_{(2³ × 3 × 5 × 11)} = - ^{((53 × 17) : 5)}/_{((2³ × 3 × 5 × 11) : 5)} = - ⁴²⁵/₂₆₄

• Le numérateur et le dénominateur n'ont pas de facteurs premiers communs.
• La décomposition en facteurs premiers des deux nombres :
1.283 est un nombre premier
• 2.070 = 2 × 3² × 5 × 23
• PGCD (1.283; 2 × 3² × 5 × 23) = 1

• 1.405 = 5 × 281
• 2.045 = 5 × 409
• PGCD (1.405; 2.045) = 5

• Nous aurions pu simplifier la fraction sans calculer le PGCD. Il suffit de décomposer le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers et d'éliminer les facteurs communs.

• ^1.405/_2.045 = ^{(5 × 281)}/_{(5 × 409)} = ^{((5 × 281) : 5)}/_{((5 × 409) : 5)} = ²⁸¹/₄₀₉

• Le numérateur et le dénominateur n'ont pas de facteurs premiers communs.
• La décomposition en facteurs premiers des deux nombres :
1.402 = 2 × 701
• 2.107 = 7² × 43
• PGCD (2 × 701; 7² × 43) = 1

• Le numérateur et le dénominateur n'ont pas de facteurs premiers communs.
• La décomposition en facteurs premiers des deux nombres :
1.285 = 5 × 257
• 8.316 = 2² × 3³ × 7 × 11
• PGCD (5 × 257; 2² × 3³ × 7 × 11) = 1

• 2.092 = 2² × 523
• 1.332 = 2² × 3² × 37
• PGCD (2.092; 1.332) = 2² = 4

• Nous aurions pu simplifier la fraction sans calculer le PGCD. Il suffit de décomposer le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers et d'éliminer les facteurs communs.

• ^2.092/_1.332 = ^{(22 × 523)}/_{(2² × 3² × 37)} = ^{((22 × 523) : 22 )}/_{((2² × 3² × 37) : 2² )} = ⁵²³/₃₃₃

• 1.320 = 2³ × 3 × 5 × 11
• 2.160 = 2⁴ × 3³ × 5
• PGCD (1.320; 2.160) = 2³ × 3 × 5 = 120

• Nous aurions pu simplifier la fraction sans calculer le PGCD. Il suffit de décomposer le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers et d'éliminer les facteurs communs.

• ^1.320/_2.160 = ^{(23 × 3 × 5 × 11)}/_{(2⁴ × 3³ × 5)} = ^{((23 × 3 × 5 × 11) : (23 × 3 × 5))}/_{((2⁴ × 3³ × 5) : (2³ × 3 × 5))} = ¹¹/₁₈

• Une fraction impropre : la valeur du numérateur est supérieure ou égale à la valeur du dénominateur.
• Une fraction propre : la valeur du numérateur est inférieure à la valeur du dénominateur.
• Chaque fraction impropre sera réécrite comme un nombre entier et une fraction propre, les deux ayant le même signe : divisez le numérateur par le dénominateur et notez le quotient et le reste de la division, comme indiqué ci-dessous.
• Pourquoi réécrivons-nous les fractions impropres ?
• En réduisant la valeur du numérateur d'une fraction, les calculs avec cette fraction deviennent plus faciles à effectuer.

• Pour calculer l'opération des fractions, nous devons :
• 1) trouver leur dénominateur commun (le même dénominateur)
• 2) puis calculer les nombres par lesquels chaque dénominateur est multiplié, afin d'avoir tous les dénominateurs des fractions égaux (au même dénominateur)
• 3) puis réduire les fractions au même dénominateur, en les transformant en formes équivalentes, qui ont toutes le même dénominateur

• * Le même dénominateur n'est rien d'autre que le plus petit commun multiple (PPCM) des dénominateurs des fractions.
• Le PPCM sera le même dénominateur des fractions avec lesquelles nous travaillons.

Multipliez tous les facteurs premiers uniques : s'il y a des facteurs premiers répétitifs, nous ne les prenons qu'une seule fois, et seulement ceux qui ont le plus grand exposant (les puissances les plus élevées).

• Remplacez chaque fraction par une fraction équivalente : multipliez son numérateur et son dénominateur par le nombre correspondant, calculé à l'étape 2 ci-dessus. De cette façon, toutes les fractions auront des dénominateurs égaux (le même dénominateur).
• Maintenez ensuite le dénominateur commun et faites les calculs uniquement avec les numérateurs des fractions.

• La décomposition en facteurs premiers des deux nombres :
• 20.818.622.763.781 = 31 × 671.568.476.251
• 8.712.320.518.440 = 2³ × 3³ × 5 × 7² × 11 × 23 × 37 × 43 × 409
• PGCD (31 × 671.568.476.251; 2³ × 3³ × 5 × 7² × 11 × 23 × 37 × 43 × 409) = 1

• Un nombre fractionnaire : un nombre entier et une fraction propre, tous deux de même signe.
• Une fraction propre : la valeur du numérateur est inférieure à la valeur du dénominateur.
• Divisez le numérateur par le dénominateur et notez le quotient et le reste de la division, comme indiqué ci-dessous :

Divisez simplement le numérateur par le dénominateur, sans reste, comme indiqué ci-dessous :

• Une valeur en pourcentage p% est égale à la fraction : ^p/₁₀₀, pour tout nombre décimal p. Donc, nous devons changer la forme du nombre obtenu ci-dessus, pour avoir un dénominateur de 100.
• Pour ce faire, multipliez le nombre par la fraction ¹⁰⁰/₁₀₀.
• La valeur de la fraction ¹⁰⁰/₁₀₀ = 1, donc en multipliant le nombre par cette fraction, le résultat ne change pas, seulement la forme.

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