- ^1.900/_1.181 + ^1.144/_1.824 + ^1.233/_1.829 - ^1.254/_1.872 - ^1.157/_8.116 + ^1.844/_1.168 + ^1.180/_1.898 = ? Additionner des fractions, calculatrice en ligne. Opération d'addition expliquée étape par étape

• Pour simplifier une fraction à la forme équivalente la plus simple : divisez le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur, PGCD.
• * Pourquoi essaie-t-on de simplifier les fractions ?
• En réduisant les valeurs des numérateurs et des dénominateurs des fractions, les calculs sont plus faciles à effectuer.
• Une fraction simplifiée à la forme équivalente la plus simple est une fraction avec le plus petit numérateur et dénominateur possible, une fraction qui ne peut plus être simplifiée.

• Le numérateur et le dénominateur n'ont pas de facteurs premiers communs.
• La décomposition en facteurs premiers des deux nombres :
1.900 = 2² × 5² × 19
• 1.181 est un nombre premier
• PGCD (2² × 5² × 19; 1.181) = 1

• La décomposition en facteurs premiers du numérateur et du dénominateur :
• 1.144 = 2³ × 11 × 13
• 1.824 = 2⁵ × 3 × 19
• Multipliez tous les facteurs premiers communs : s'il y a des facteurs premiers communs répétitifs, nous ne les prenons qu'une seule fois, et seulement ceux qui ont le plus petit exposant (les plus petites puissances).
• PGCD (1.144; 1.824) = 2³ = 8

• Une autre méthode pour simplifier la fraction :

• Sans calculer le PGCD, décomposer le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers et éliminer tous les facteurs communs.

• ^1.144/_1.824 = ^{(23 × 11 × 13)}/_{(2⁵ × 3 × 19)} = ^{((23 × 11 × 13) : 23 )}/_{((2⁵ × 3 × 19) : 2³ )} = ¹⁴³/₂₂₈

• Le numérateur et le dénominateur n'ont pas de facteurs premiers communs.
• La décomposition en facteurs premiers des deux nombres :
1.233 = 3² × 137
• 1.829 = 31 × 59
• PGCD (3² × 137; 31 × 59) = 1

• 1.254 = 2 × 3 × 11 × 19
• 1.872 = 2⁴ × 3² × 13
• PGCD (1.254; 1.872) = 2 × 3 = 6

• Nous aurions pu simplifier la fraction sans calculer le PGCD. Il suffit de décomposer le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers et d'éliminer les facteurs communs.

• - ^1.254/_1.872 = - ^{(2 × 3 × 11 × 19)}/_{(2⁴ × 3² × 13)} = - ^{((2 × 3 × 11 × 19) : (2 × 3))}/_{((2⁴ × 3² × 13) : (2 × 3))} = - ²⁰⁹/₃₁₂

• Le numérateur et le dénominateur n'ont pas de facteurs premiers communs.
• La décomposition en facteurs premiers des deux nombres :
1.157 = 13 × 89
• 8.116 = 2² × 2.029
• PGCD (13 × 89; 2² × 2.029) = 1

• 1.844 = 2² × 461
• 1.168 = 2⁴ × 73
• PGCD (1.844; 1.168) = 2² = 4

• Nous aurions pu simplifier la fraction sans calculer le PGCD. Il suffit de décomposer le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers et d'éliminer les facteurs communs.

• ^1.844/_1.168 = ^{(22 × 461)}/_{(2⁴ × 73)} = ^{((22 × 461) : 22 )}/_{((2⁴ × 73) : 2² )} = ⁴⁶¹/₂₉₂

• 1.180 = 2² × 5 × 59
• 1.898 = 2 × 13 × 73
• PGCD (1.180; 1.898) = 2

• Nous aurions pu simplifier la fraction sans calculer le PGCD. Il suffit de décomposer le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers et d'éliminer les facteurs communs.

• ^1.180/_1.898 = ^{(22 × 5 × 59)}/_{(2 × 13 × 73)} = ^{((22 × 5 × 59) : 2)}/_{((2 × 13 × 73) : 2)} = ⁵⁹⁰/₉₄₉

• Une fraction impropre : la valeur du numérateur est supérieure ou égale à la valeur du dénominateur.
• Une fraction propre : la valeur du numérateur est inférieure à la valeur du dénominateur.
• Chaque fraction impropre sera réécrite comme un nombre entier et une fraction propre, les deux ayant le même signe : divisez le numérateur par le dénominateur et notez le quotient et le reste de la division, comme indiqué ci-dessous.
• Pourquoi réécrivons-nous les fractions impropres ?
• En réduisant la valeur du numérateur d'une fraction, les calculs avec cette fraction deviennent plus faciles à effectuer.

• Pour calculer l'opération des fractions, nous devons :
• 1) trouver leur dénominateur commun (le même dénominateur)
• 2) puis calculer les nombres par lesquels chaque dénominateur est multiplié, afin d'avoir tous les dénominateurs des fractions égaux (au même dénominateur)
• 3) puis réduire les fractions au même dénominateur, en les transformant en formes équivalentes, qui ont toutes le même dénominateur

• * Le même dénominateur n'est rien d'autre que le plus petit commun multiple (PPCM) des dénominateurs des fractions.
• Le PPCM sera le même dénominateur des fractions avec lesquelles nous travaillons.

Multipliez tous les facteurs premiers uniques : s'il y a des facteurs premiers répétitifs, nous ne les prenons qu'une seule fois, et seulement ceux qui ont le plus grand exposant (les puissances les plus élevées).

• Remplacez chaque fraction par une fraction équivalente : multipliez son numérateur et son dénominateur par le nombre correspondant, calculé à l'étape 2 ci-dessus. De cette façon, toutes les fractions auront des dénominateurs égaux (le même dénominateur).
• Maintenez ensuite le dénominateur commun et faites les calculs uniquement avec les numérateurs des fractions.

• La décomposition en facteurs premiers des deux nombres :
• 2.049.414.038.455.583 = 23 × 3.457 × 25.775.226.553
• 1.896.604.188.001.224 = 2³ × 3 × 13 × 19 × 31 × 59 × 73 × 1.181 × 2.029
• PGCD (23 × 3.457 × 25.775.226.553; 2³ × 3 × 13 × 19 × 31 × 59 × 73 × 1.181 × 2.029) = 1

• Un nombre fractionnaire : un nombre entier et une fraction propre, tous deux de même signe.
• Une fraction propre : la valeur du numérateur est inférieure à la valeur du dénominateur.
• Divisez le numérateur par le dénominateur et notez le quotient et le reste de la division, comme indiqué ci-dessous :

Divisez simplement le numérateur par le dénominateur, sans reste, comme indiqué ci-dessous :

• Une valeur en pourcentage p% est égale à la fraction : ^p/₁₀₀, pour tout nombre décimal p. Donc, nous devons changer la forme du nombre obtenu ci-dessus, pour avoir un dénominateur de 100.
• Pour ce faire, multipliez le nombre par la fraction ¹⁰⁰/₁₀₀.
• La valeur de la fraction ¹⁰⁰/₁₀₀ = 1, donc en multipliant le nombre par cette fraction, le résultat ne change pas, seulement la forme.

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